1.3 Градиент. Производная по направлению
Скалярным
полем называется плоская или
пространственная область, с каждой
точкой
которой
связано определенное значение некоторой
физической величины
.
Задание поля скалярной величины
равносильно
заданию скалярной (числовой) функции
.
Линией
уровня скалярного поля называется
совокупность точек плоскости, в которых
функция этого поля имеет одинаковые
значения (
,
где
).
Градиентом функции называется вектор
=
.
Направление
вектора
в
каждой точке
совпадает
с направлением нормали к поверхности
(линии) уровня, проходящей через эту
точку.
Производная
функции
в точке
в направлении вектора
,
образующего с осями координат углы
и
,
вычисляется по формуле
Задача
3. Найти градиент и производную функции
в
точке М(3,4)
в направлении
вектора l,
составляющего угол
с положительным направлением оси Ох.
Решение. Найдем частные производные функции в точке М:
.
Тогда
градиент будет равен:
.
Найдем
направляющие косинусы:
.
Тогда производная по направлению будет
равна
Тема 2 Неопределенный интеграл
Функция
называется первообразной
функции
если
Множество первообразных функции
называется неопределенным интегралом
и обозначается
.
Операции дифференцирования и интегрирования взаимнообратны:
,
поэтому нетрудно получить следующую таблицу интегралов:
1)
(
), 7)
,
2)
, 8)
,
3)
, 9)
,
4)
, 10)
,
5)
, 11)
,
6)
, 12)
.
Не останавливаясь на непосредственном интегрировании по формулам, как на простейшем способе решения примеров, перейдём сразу к более сложным методам.
2.1 Метод замены переменного
Пусть
требуется найти неопределенный интеграл
от непрерывной функции
Рассмотрим
некоторую функцию
,
которая имеет непрерывную производную
и обратную функцию
.
(Например:
монотонна).
Тогда справедлива формула:
. (2.1)
В некоторых ситуациях удается подобрать функцию так, что интеграл в правой части (1.1) оказывается проще, чем в левой части. Такой прием называется методом замены переменной. На практике часто формулу используют в обратную сторону:
.
(2.2)
Другими
словами, если подынтегральное выражение
может быть записано в форме левой части
(2.2), то с помощью
подстановки
получаем более простой интеграл (2.1).
Задача
1.
.
Решение.
.
Задача
2.
.
На практике часто используется следующая простая формула:
,
где
-
первообразная функции
.
2.2 Интегрирование по частям
Формула интегрирования получается почленным интегрированием формулы производной произведения.
.
Смысл формулы заключается в том, что производная перебрасывается с одного множителя не другой и интеграл при этом может оказаться проще, чем исходный.
Можно выделить по крайней мере два класса интегралов, для которых применима формула интегрирования по частям.
I.
где
-
многочлен степени
.
В качестве
нужно взять
,
а
=
-
другой сомножитель.
При этом формулу приходится применить столько раз, какова степень многочлена.
II.
.
В этом случае, наоборот, следует положить = .
Рассмотрим применение указанной схемы.
Задача 3.
.
Это интеграл первого типа, поэтому:
=
=
=
=
Задача
4.
.
Это интеграл второго типа, поэтому имеем:
.
Заметим,
что при использовании формулы
интегрирования по частям приходится
восстанавливать функцию
по ее дифференциалу
.
Поэтому в качестве этого сомножителя
нужно брать легко интегрируемую функцию.
Формула интегрирования по частям может хорошо сработать и в других случаях.
Задача
5.
.
.
Получили уравнение относительного исходного интеграла I. Вынося I за скобки, получим
,
откуда
.