Общие методические указания

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий.

Если в процессе изучения материала или при решении задач у студента возникают трудности, то можно обратиться к. преподавателю кафедры математики для получения устной, или письменной консультации. В случае письменной консультации студент должен точно указать характер затруднения, полное название учебника или задачника, год издания и страницу, где находится непонятный для студента вопрос или задача.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тет-ради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, номер контрольной работы, дата ее отсылки в институт, домашний адрес студента.

2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.

3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем.

4. Решение, задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами (желательно на миллиметровой бумаге), выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.

5. На каждой странице тетради, необходимо оставлять поля шириной 3 — 4 см для замечаний преподавателя.

6. Контрольные работы должны, выполняться самостоятельно. Несамостоя­тельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.

Изучите теорию по указанным разделам, разберите решения задач, приведенных в данных методических указаниях и приступайте к выполнению контрольных работ. Желаем удачи!

Тема1Функции нескольких переменных

Пусть задано множество упорядоченных пар чисел . Соответствие , которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве со значениями в , и записывается в виде .

1.1 Частные производные функции нескольких переменных

Частной производной функции нескольких переменных называется производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных переменных. Обозначения частных производных: .

Частные производные называют частными производными первого прядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции также могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

Теорема. Если частные производные непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем:

Задача 1 . Найти производные первого порядка и смешанную производную второго порядка функции .

Решение. При нахождении частной производной по полагаем постоянной: . При нахождении частной производной по полагаем постоянной: .

0. 1.2 Экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция определена в некоторой области , точка .

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство ( ).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

Точка, в которой частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой функции.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения

.

Обозначим .

Тогда:

1. Если , то функция имеет в точке экстремум: максимум, если ; минимум, если .

2.Если , то функция в точке экстремума не имеет.

В случае необходимы дополнительные исследования.

Задача 2. Найти экстремум функции

Решение. Здесь ; . Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки М₁ (6;3) и М₂ (0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции: , , .

В точке М₁ (6;3) имеем: А=-18, В=36, С=-108, отсюда

=648, т.е. > 0.

Так как А<0, то в точке М₁ функция имеет локальный максимум:

=324 – 216 – 81 = 27.

В точке М₂(0;0): А=0, В=0, С=0 и, значит, =0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке М₂ равно нулю: (0;0)=0. Можно заметить, что < 0 при ; ≠ 0; при , . Значит, в окрестности точки М₂(0;0) функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М₂ функция экстремума не имеет.