3. Округление

В десятичной записи числа выделяют значащие цифры – это первая слева ненулевая цифра и любые цифры справа от значащей.

Пример.

В числе 3,14 – 3 значащие цифры, в числе 2,345*10^-2=0,02345 – 4 значащие цифры, в числе 308,7060 – 7 значащих цифр, в числе 2,5 *10⁶ – 2 значащих цифры.

Округлением числа называется замена его близким по величине, но с меньшим количеством значащих цифр.

Различают округление симметричное (к ближайшему), к большему (с избытком) и к меньшему (с недостатком).

ВГ можно округлить только с избытком, а НГ – с недостатком. Предельная погрешность является верхней границей погрешности и округляется с избытком.

Округление отбрасыванием цифр называется отсечением и широко применяется в ЭВМ ввиду простоты и быстроты выполнения.

Для приближённого числа, полученного в результате округления отсечением, абсолютная погрешность равна единице последнего разряда числа.

Пример. Округление отсечением числа х = 1,2759 до двух знаков после запятой а = 1,27 даёт абсолютную погрешность .

Симметричное округление приводит к меньшей величине ошибки округления. Его погрешность не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда.

Пример. Симметричное округление числа х = 1,2759 до двух знаков после запятой а = 1,28 даёт абсолютную погрешность .

Введём понятия «верной цифры» и «верной цифры в строгом смысле», соответствующие двум рассмотренным способам округления.

Цифра, соответствующая р-му разряду в записи числа а, называется верной, если погрешность , а если погрешность , то цифра верна в строгом смысле. Цифра слева от верной также верна.

Пример. Пусть х=18,572 и известно, что . Сколько верных цифр в числе х ?

Имеем , но . Значит в числе х верные цифры 1, 8, 5, а 7 и 2 – сомнительные. Верными в строгом смысле являются только цифры 1, 8, так как. .

4. Оценка погрешности по способу границ Способ границ применяется для оценки погрешности результата расчёта по формуле, содержащей приближённые величины.

Пусть a – приближённое исходное данное, так что заданы его границы: . Надо найти результат у, зависящий от а и поэтому также приближённый: у=f(а).

Найдём границы у, т.е. два таких числа НГ(у) и ВГ(у), что . Если результат у увеличивается с ростом а (например, площадь квадрата в зависимости от длины стороны), то, по определению границ, ВГ(у)  f(а) для любого , и можно принять ВГ(у) = f(BГ(а)). Аналогично НГ(у) = f(НГ(а)). Если у убывает с ростом а (например, давление воздуха с высотой), то ВГ(у) = f(НГ(а)) и НГ(у) = f(ВГ(а)).

Пусть – алгоритм для вычисления у на ЭВМ по формуле f(а). Тогда для нахождения границ результата нужны два расчёта по одному и тому же алгоритму с исходными данными НГ(а) и ВГ(а).

Границы результата округляют так: НГ – с недостатком, ВГ – с избытком. При этом в их записи сохранить все цифры до первой слева, отличие в которой НГ(у) и ВГ(у) уже существенно.

Пример. Если в результате двух расчётов по алгоритму получены НГ(у) = 0,36274 и ВГ(у) = 0,36523, то округлить целесообразно так:

НГ(у) = 0,362 и ВГ(у) = 0,366. Неизвестное значение у оценивается полусуммой

и границы погрешности оценивается как

(полуширина интеграла неопределённости).