2. Момент силы и момент инерции

В озьмем некоторое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси (рис. 3).

Для того чтобы привести тело во вращательное движение, пригодна не всякая внешняя сила. Эта сила должна обладать вращающим моментом относительно данной оси, а направление силы не должно быть параллельным данной оси или пересекаться с ней. Подействуем на тело силой . Вращение тела будет определяться моментом силы относительно оси вращения: , (6)

где - радиус- вектор, проведенный из центра окружности вращения в точку приложения силы . Из векторного произведения (6) следует, что вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. в соответствии с правилом буравчика. Численное значение момента силы определяется выражением: , (7)

где - угол между векторами и . Как видно из рис. 3, величина , равная расстоянию от оси вращения до направления действия силы , называется плечом силы относительно этой оси. Следовательно, момент силы численно равен произведению силы на плечо:

M = F·h (8).

Таким образом, физический смысл момента силы состоит в том, что при вращательном движении воздействие силы определяется не только величиной силы, но и тем, как она приложена.

В динамике вращательного движения вводится понятие момента инерции. Представим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси , как систему материальных точек m_i (рис. 4).Очевидно, что каждая точка m_i будет находиться на определенном расстоянии r_i до оси вращения.

Величина , численно равная произведению массы точки m_i на квадрат ее расстояния до оси вращения, называется моментом инерции точки относительно оси вращения. Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело, т.е.: (9).

Ф изический смысл момента инерции J состоит в том, что при вращательном движении инерция тела определяется не только величиной массы, но и распределением этой массы относительно неподвижной оси вращения.

На рис. 5 приведены формулы моментов инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести (ось симметрии).

3. Основной закон динамики вращательного движения имеет вид:

, (10)

т.е. угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы, действующей на тело и обратно пропорционально моменту инерции тела. Этот закон аналогичен основному закону динамики для поступательного движения (второму закону Ньютона): .При вращении тела аналогично понятию импульса тела для поступательного движения ( ) вводят понятие момента импульса тела , который равен (11).

4. Аналогично закону сохранения импульса для поступательного движения при вращательном движении действует закон сохранения момента импульса: , (12),

где и - моменты инерции и угловые скорости тел, составляющих изолированную систему. Он гласит:

в изолированной системе (т.е. момент внешних сил ) сумма моментов импульса всех тел есть величина постоянная.

Для изолированной системы, состоящей из одного вращающегося тела, закон сохранения (12) запишется в виде: (13).

5. Как известно, кинетическая энергия поступательно движущегося тела определяется уравнением . Аналогично этому выражению кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется уравнением: (14).