Контрольные вопросы

1. Какой колебательный процесс называется гармоническим и каково его аналитическое и графическое представление?

2. Перечислите характеристики гармонического колебания, определите их физический смысл.

3. По какому закону изменяются при гармонических колебаниях смещение, скорость и ускорение?

4. От каких величин зависит ускорение свободного падения?

3. Затухающие колебания

Простейшим видом колебательного движения является гармоническое, которое совершается по закону синуса или косинуса. Оно возникает в том случае, если на тело, выведенное из положения равновесия, непрерывно действует сила, направленная всегда к положению равновесия, а по величине пропорциональная смещению этого тела от положения равновесия.

К олебательные движения системы имеют особенно простой характер в случае малых колебаний, когда мало смещение системы от положения равновесия. Примером простейших колебательных систем может служить небольшое тело (шарик), подвешенное на пружине или нити (математический маятник).

Если колебательное движение происходит в какой-либо внешней среде, то эта среда оказывает сопротивление движению, стремясь замедлить его. Такой процесс движения можно описать, если ввести дополнительную силу, появляющуюся в результате самого движения и направленную противоположно ему. Такой силой является сила трения.

Рассмотрим такое колебательное движение шарика, подвешенного на упругой пружине (рис.1).

После отклонения шарика от положения равновесия он будет совершать гармонические колебания. Если деформация пружины невелика, то можно считать справедливым закон Гука и записать выражение для возвращающей в равновесие шарик силы F в виде: , (1)

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от упругих свойств пружины, x – смещение относительного положения равновесия. Знак минус показывает, что сила направлена к положению равновесия, т.е. имеет знак, обратный знаку x. Под влиянием этой силы предоставленный самому себе шарик начнет двигаться, приобретая скорость . При его движении возникает сила трения F_тр , направленная противоположно скорости. В первом приближении ее можно считать пропорциональной скорости шарика: , (2),

где r – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления (коэффициент трения).

Если масса шарика невелика (это дает возможность пренебречь силой тяжести по сравнению с возникающими упругими силами), то второй закон Ньютона будет иметь вид: . (3)

После преобразований . Или . (4)

Здесь - квадрат собственной частоты колебаний шарика, т.е. колебаний при отсутствии сил трения и других внешних сил;

, где δ - называется коэффициентом затухания.

Уравнение (4) есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний, и решение которого имеет вид . (5)

Здесь: А₀ – амплитуда колебаний в начальный момент времени;

- циклическая частота затухающих колебаний, е – основание натурального логарифма (е= 2,71).

А период колебаний Т будет (6)

В формулу (5) входят два множителя, зависящие от времени. Один cost – периодическая функция времени, другой е^-t - убывает с течением времени, Тогда, если коэффициент сопротивления мал, то величину А=А₀е^–t можно рассматривать как амплитуду, которая с течением времени уменьшается по экспоненциальному закону, окончательно решение уравнения затухающих колебаний можно записать в общем виде: . (7)

З атухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Поэтому величины  и Т называть частотой и периодом можно только условно.

Графически затухающие колебания представлены на рис.2.

Из формулы , выражающей закон убывания амплитуды колебаний, можно показать, что отношение амплитуд, отделенных друг относительно друга интервалом в один период Т, остается постоянным в течение всего процесса затухания.

Итак, возьмем отношение двух амплитуд А_n и A_n+1 (см. рис.2)

(8)

Величина D называется декрементом затухания. Чем больше декремент затухания, тем скорее уменьшается амплитуда. Чаще затухающие колебания характеризуются логарифмическим декрементом затухания :: , или  =  Т (9)

Таким образом, для характеристики затухающих колебаний вводятся две величины: коэффициент затухания  и логарифмический декремент затухания  . Поясним их физический смысл.

Обозначим через  промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшится в е раз. Тогда , откуда =1 или .

Следовательно, коэффициент затухания  есть физическая величина обратная промежутку времени , в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина  называется временем релаксации.

Если, например, = 10 ² с. , то это значит, что амплитуда колебаний убывает в е раз за время 10 ² с.

Пусть n – число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз. Тогда  = nT и  = Т = 1/ = 1/n.

Следовательно, логарифмический декремент затухания  есть физическая величина, обратная числу колебаний n, по истечении которого амплитуда убывает в е раз.

Если, например,  = 0,01, то это значит, что амплитуда колебаний убывает в е раз по истечении 100 колебаний.