Висновки

Залежність між ціною і попитом описує однофакторна кореляційна модель Y_(х) = 1070,23 – 10,0962 х. При зростанні ціни на 1 грн. обсяг попиту знижується на 10,0962 тис. т. При зростанні ціни на 1 % обсяг попиту знижується на 29,2 % і навпаки. Попит на продукцію є дуже еластичним. Варіація попиту на 99,64 % обумовлена впливом ціни. Існування дуже високого кореляційного зв’язку між ціною і попитом підтверджується. Побудована нами кореляційна модель є адекватною і може використовуватись для прогнозування обсягу попиту залежно від рівня цін. Якщо середня ціна знизиться до 100 грн., то з ймовірністю 0,95 слід очікувати, що попит на продукцію складатиме не більше 62,79 тис. т і не менше 58,43 тис. т.

Розрахункова робота № 5 вимірювання сезонних коливань

Завдання: Описати сезонну хвилю з урахуванням тенденції розвитку.

Таблиця 5.1 – Обсяг збуту продукції

Квартал	Обсяг збуту, тис. грн.
	1-й рік	2-й рік	3-й рік
І	105	105	106
ІІ	112	112	114
ІІІ	106	106	109
ІV	93	93	98
Разом	416	416	427

Виявимо характер загальної тенденції ряду внутрішньорічної динаміки шляхом укрупнення квартальних періодів в річні рівні і визначення ланцюгових і базисних темпів зростання за такою схемою:

Таблиця 5.2 – Темпи росту обсягу збуту

Рік	Річні рівні	Темпи зростання, %
		Ланцюгові	Базисні
1	416	—	100,00
2	416	100,00	100,00
3	427	102,60	102,60

Спостерігається нечітка тенденція до зростання.

Визначимо індекси сезонності за методом сталої середньої:

,

де — осереднені емпіричні рівні однойменних періодів;

— загальна, або стала середня рівня ряду.

Таблиця 5.3 – Розрахунок індексів сезонності методом сталої середньої

Рік	Квартал				Разом
	І	ІІ	ІІІ	ІV
1	105	112	106	93	416
2	105	112	106	93	416
3	106	114	109	98	427
Разом	316	338	321	284	1259
Середньоквартальний рівень за періодами,	105,3	112,7	107,0	94,7	104,9
Індекси сезонності, Ісез, %	100,4	107,4	102,0	90,3	100,0

Середньоквартальні рівні:

Загальна або стала середня рівня ряду:

або

Визначаємо індекси сезонності методом сталої середньої:

Для динамічних рядів, які виявляють тенденцію, індекси сезонності визначають за методом змінної середньої (виключення тренду). Індекси сезонності знаходимо за формулою:

,

де у_і – емпіричні рівні ряду;

У_(t) – теоретичні рівні ряду обчислені за рівнянням тренду;

n – число річних періодів.

Рівняння тренду:

Для визначення а₀ і а₁ розв’язуємо систему нормальних рівнянь:

Відлік часу t перенесемо в середину ряду, тоді Σt = 0 і розв’язок системи значно спрощується:

;

Трендові рівняння матиме вигляд: У_(t) = - 0,0437 t + 104,9167. Знаходимо теоретичні значення У_(t) і результати заносимо в таблицю 5.4.

Таблиця 5.4 – Розрахунок індексів сезонності методом змінної середньої

Рік	Пері-од		Об-сяг збуту тис. грн. у		t	t2		yt		Yt
1	2		3		4	5		6		7	8	9	10
1	І		105		- 11	121		-1155		105,40	100,00	- 0,40	0,16
1		2		3	4		5		6	7	8	9	10
		ІІ		112	- 9		81		-1008	105,31	106,00	6,69	44,76
		ІІІ		106	- 7		49		-742	105,22	101,00	0,78	0,61
		ІV		93	- 5		25		-465	105,14	88,00	-12,14	147,38
2		І		105	- 3		9		-315	105,05	100,00	-0,05	0,00

Продовження таблиці 5.4

	ІІ	112	- 1	1	-112	104,96	107,00	7,04	49,56
	ІІІ	106	1	1	106	104,87	101,00	1,13	1,28
	ІV	93	3	9	279	104,79	89,00	-11,79	139,00
3	І	106	5	25	530	104,70	101,00	1,3	1,69
	ІІ	114	7	49	798	104,61	109,00	9,39	88,17
	ІІІ	109	9	81	981	104,52	104,00	4,48	20,07
	ІV	98	11	121	1078	104,44	94,00	-6,44	41,47
Разом		1259	0	572	-25	1259,01	Х	Х	Х

Знаходимо індекси сезонності:

Будуємо лінійну діаграму:

Іс
110		1 07,33
105				1 02,00
100	100,33
95					90,33
90
85
80	І кв.	ІІ кв.	ІІІ кв.	ІV кв.

Рис. 5.1. Сезонний характер збуту продукції

Узагальнені характеристики сезонних коливань

Амплітуда сезонних коливань:

Середнє лінійне відхилення сезонних коливань:

Середнє квадратичне відхилення сезонних коливань: Визначимо індекс сезонності на основі ковзної (плинної) середньої:

, де

у_і – емпіричні рівні ряду;

– згладжені рівні ряду;

n – число річних періодів.

Таблиця 5.5- Розрахунок індексів сезонності методом плинної середньої

Рік	Пері-од	Вихідні рівні ряду, тис. грн. (уі)	Середні з суми чотирьох рівнів ряду	Згладжені розрахункові рівні ряду
1	2	3	4	5	6
1	І	105
	ІІ	112	104,00
	ІІІ	106	104,00	104,000	101,9
	ІV	93	104,00	104,000	89,4
2	І	105	104,00	104,000	101,0
	ІІ	112	104,00	104,000	107,7
	ІІІ	106	104,25	104,125	101,8
	ІV	93	104,75	104,500	89,0
3	І	106	105,50	105,125	100,8
	ІІ	114	106,75	106,125	107,4
	ІІІ	109
	ІV	98

Виконаємо згладжування ряду динаміки за допомогою ковзної середньої. При цьому застосуємо чотиричленні ковзні середні. Вони розраховуються з чотирьох рівнів ряду, використовуючи при обчисленні кожної нової середньої перший рівень і приєднуючи наступний рівень ряду:

Кожна з обчислених чотиричленних середніх належить до відповідних проміжків між двома суміжними кварталами. Так, перша середня належить до проміжку між ІІ і ІІІ кварталами 1-го року, друга середня – до проміжку між ІІІ і ІV кварталами 1-го року і т.д.

А тому, щоб обчислити значення згладжених рівнів, треба провести центрування розрахункових середніх. Так, для визначення згладженого середнього рівня ряду ІІІ кварталу 1-го року зробимо центрування першої і другої середніх і т.д. Результати розрахунків подаємо в таблиці 5.5.

1–й рік
2–й рік
3–й рік

Обчислюємо відношення

1–й рік	ІІІ кв.
	IV кв.
2–й рік	І кв.
	ІІ кв.
	ІІІ кв.
	IV кв.
3–й рік	І кв.
	ІІ кв.

Усереднимо обчислені величини за однойменними періодами – кварталами року в результаті чого одержимо індекси сезонності, які характеризують сезонну хвилю обсягу збуту (у процентах до середньоквартальної реалізації, узятої за 100%).

Визначимо індекси сезонності методом Персонса. , де

– базисні індекси за і-й квартал;

– середньорічний індекс.

Таблиця 5.6 – Розрахунок індексів сезонності методом Персонса

Квартал	Обсяг збуту, тис. грн.			Ланцюгові індекси			Середні ланцюгові індекси	Базисні індек-си уі	Індекси сезон-ності %
	1-й рік	2-й рік	3-й рік	1-й рік	2-й рік	3-й рік
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
І	105	105	106	-	1,129	1,140	1,135	1,000	100,4
ІІ	112	112	114	1,067	1,067	1,076	1,070	1,070	107,4

Продовження таблиці 5.6

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ІІІ	106	106	109	0,946	0,946	0,956	0,949	1,015	101,9
ІV	93	93	98	0,877	0,877	0,899	0,884	0,898	90,2
Разом	416	416	427	2,89	4,019	4,071	-	3,983	400,0
В середньому	-	-	-	0,963	1,005	1,018	-	0,996	100,0

Визначимо ланцюгові індекси:

1-й рік	ІІ кв.
	ІІІ кв.
	IV кв.
2-й рік	І кв.
	ІІ кв.
	ІІІ кв.
	IV кв.
3-й рік	І кв.
	ІІ кв.
	ІІІ кв.
	IV кв.

Визначимо середні ланцюгові індекси:

І кв.

ІІ кв.

ІІІ кв.

IV кв.

Визначимо базисні індекси:

І кв. Приймемо середню першого кварталу за 100%.

ІІ кв. Залишимо середню другого кварталу без зміни.

ІІІ кв.

IV кв.

Визначимо середньорічний індекс:

Визначимо індекси сезонності:

Моделювання сезонних коливань проведемо за допомогою ряду Фур’є, аналітичний вираз якого має вигляд , де

k - ступінь точності гармоніки тригонометричного многочлена;

t - час, виражений в радіанах або градусах.

Для першої гармоніки (k= 1) рівняння Фур’є матиме вигляд:

Параметри рівняння розраховуємо за формулами:

; ;

Таблиця 5.7 – Розрахунок індексів сезонності за допомогою рівнянь ряду Фур’є

Рік	Квар-тал	t, раді-ан	Обсяг збуту, тис. грн. (у)	cos t	sin t	y cos t	y sin t
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1-й	І	0	105	1,000	0,000	105,00	0,00	105,81	99,2
	ІІ	π/6	112	0,866	0,500	96,99	56,00	105,02	106,7
	ІІІ	π/3	106	0,500	0,866	53,00	91,80	104,22	101,7
	IV	π/2	93	0,000	1,000	0,00	93,00	103,59	89,8
2-й	І	2π/3	105	-0,500	0,866	-52,50	90,93	103,32	101,6
	ІІ	5π/6	112	-0,866	0,500	-96,99	56,00	103,48	108,2
	ІІІ	π	106	-1,000	0,000	-106,00	0,00	104,03	101,9
	IV	7π/6	93	-0,866	-0,500	-80,54	-46,50	104,82	88,7
3-й	І	4π/3	106	-0,500	-0,866	-53,00	-91,80	105,62	100,4
	ІІ	3π/2	114	0,000	-1,000	0,00	-114,00	106,25	107,3
	ІІІ	5π/3	109	0,500	-0,866	54,50	-94,39	106,52	102,3
	IV	11π/6	98	0,866	-0,500	84,87	-49,00	106,36	92,1
Разом		Х	1259	Х	Х	5,33	-7,96	1259,04	Х

; ;

Звідси рівняння Фур’є матиме вигляд:

У_(t) = 104,92 + 0,89 cos t – 1,33 sin t

Теоретичні значення обсягу збуту в розрізі кварталів року

У_(t)1 = 104,92 + 0,89*1 – 1,33*0 = 105,81

У_(t)2 = 104,92 + 0,89*0,866 – 1,33*0,5 = 105,02

У_(t)3 = 104,92 + 0,89*0,5 – 1,33*0,866 = 104,22

У_(t)4 = 104,92 + 0,89*0 – 1,33*1 = 103,59

У_(t)5 = 104,92 + 0,89*(-0,5) – 1,33*0,866 = 103,32

У_(t)6 = 104,92 + 0,89*(-0,866) – 1,33*0,5 = 103,48

У_(t)7 = 104,92 + 0,89*(-1) – 1,33*0 = 104,03

У_(t)8 = 104,92 + 0,89*(-0,866) – 1,33*(-0,5) = 104,82

У_(t)9 = 104,92 + 0,89*(-0,5) – 1,33*(-0,866) = 105,62

У_(t)10 = 104,92 + 0,89*0 – 1,33*(-1) = 106,25

У_(t)11 = 104,92 + 0,89*0,5 – 1,33*(-0,866) = 106,52

У_(t)12 = 104,92 + 0,89*0,866 – 1,33*(-0,5) = 106,36

Результати обчислень заносимо в таблицю 5.7. Як показують дані таблиці 5.7, уже перша гармоніка ряду Фур’є (k = 1) досить добре апроксимує емпіричний ряд динаміки.

Визначаємо сезонну хвилю обсягу збуту (відношення емпіричних і теоретичних рівнів)за формулою .

Результати обчислень занесемо в таблицю 5.7.

Індекси сезонності представляють собою відношення середніх з фактичних рівнів однойменних кварталів за період, що розглядається, до середніх з вирівняних даних за ті ж самі квартали, або .

Якщо розраховані нами індекси сезонності достатньо надійні і точні, а це так, оскільки їх значення виявилися однаковими при будь-яких способах обчислення, то це дозволяє нам використати їх для екстраполяції.

Для розрахунку показників обсягу збуту продукції на перспективу використаємо модель прогнозу наступного виду:

У_(t) = Ic_k*Y_(t) + ε_t , де

У_(t) – обсяг збуту в момент часу t;

Ic_k – індекс сезонності k-го кварталу;

Y_(t) – оцінка обсягу попиту в момент часу t;

ε_t – випадковий компонент.

Показники прогнозу відрізняються від фактичних на величину: , де

t – число, яке гарантує з певною ймовірністю межі прогнозу (для ймовірності 0,9545 t = 2);

σ_εt – середнє квадратичне відхилення випадкового компонента;

n – кількість річних періодів.

Межі прогнозу

Для визначення прогнозованих обсягів збуту на наступний 4-й рік використаємо дані таблиці 5.4 та значення індексів сезонності, обчислені методом змінної середньої (виключення тренду на основі аналітичного вирівнювання за рівнянням прямої). Трендове рівняння має вигляд: Y_(t) = 104,9167 - 0,0437 t. Розрахунок величини виконаємо при допомозі таблиці 5.8.

Таблиця 5.8 – Розрахунок величини

Квартал	Індекси сезонності, %
1	2	3	4	5
І	100,33	1,85	0,96	1,11
ІІ	107,33	182,49	9,55	11,08
ІІІ	102,00	21,96	3,31	3,84
IV	90,33	327,85	12,80	14,85

І квартал

і т.д.

Прогноз на 4-й рік:

І квартал у₁ = 1,0033*[104,9167 – 0,0437 (13)] = 104,69 тис. т.

Межі прогнозу:

104,69 – 1,11 ≤ у₁ ≤ 104,69 + 1,11

103,58 ≤ у₁ ≤ 105,80

Результати обчислення прогнозованих обсягів збуту представимо в таблиці 5.9.

Таблиця 5.9 – Прогноз обсягу збуту продукції на 4-й рік в тис. т

Квартал	Прогноз	Нижня межа	Верхня межа
1	2	3	4
І	104,69	103,58	105,80
ІІ	111,90	100,82	122,98
ІІІ	106,26	102,42	110,10
IV	94,021	89,24	118,94