§ 3. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма

Возникает вопрос, можно ли установить какую-нибудь закономерную связь между структурой формулы и ее семантикой, между ее логической формой и логическим содержанием? Оказывается, что такая связь существует и можно указать простой метод, позволяющий по виду формулы, приведенной к некоторой стандартной форме, судить о том, тождественно-истинная она или нет.

Условимся называть элементарной дизъюнкцией формулу, которая имеет вид

A₁  A₂ ... A_n,

где n  1, a A_i, (i  n) есть либо переменная, либо отрицание переменной. Например, формула

р  q  r  p  q  r—

элементарная дизъюнкция, формула же

(p  q)  r  р

элементарной дизъюнкцией не является, так как ее первый дизъюнктивный член не есть ни переменная, ни отрицание переменной.

Теорема. Элементарная дизъюнкция тождественно-истинна, тогда и только тогда, когда в ней содержится хотя бы одна пара дизъюнктивных членов, из которых один есть некоторая переменная, а другой — ее отрицание.

Доказательство. В самом деле, элементарная дизъюнкция, содержащая такую пару, либо уже имеет вид

Е  E  D,

где Е — переменная, а D — элементарная дизъюнкция (которой может и не быть), либо ей можно придать этот вид в результате применения правила замены по равносильности (4). Так как подформула Е  E тождественно-истинная, то согласно (49') вся элементарная дизъюнкция

Е  E  D

тождественно-истинная формула, независимо от того, истинна или ложна подформула D.

Наличие переменной и ее отрицания не только достаточное, но и необходимое условие тождественной истинности элементарной дизъюнкции. Действительно, допустим, что в элементарной дизъюнкции такой пары нет. Придадим каждой переменной, не стоящей под знаком отрицания, значение «ложь», а каждой переменной, стоящей под знаком отрицания, значение «истина». Тогда каждый из дизъюнктивных членов получает значение «ложь», а, следовательно, вся элементарная дизъюнкция имеет значение «ложь» и не является тождественно-истинной формулой.

Определение. Формула логики высказываний имеет конъюнктивную нормальную форму (КНФ), если она имеет вид

В₁  В₂ ... В_m,

где В₁, В_2, ..., В_m — элементарные дизъюнкции и m  1. Например, формула

p  (q  r)  s  (p  q)

имеет конъюнктивную нормальную форму.

Любая формула логики высказываний в результате ряда равносильных замен может быть приведена к конъюнктивной нормальной форме. Формулу, равносильную данной и имещую конъюнктивную нормальную форму, будем называть конъюнктивной нормальной формой данной формулы.

Для того чтобы формулу привести к КНФ, необходимо вначале с помощью известной процедуры привести ее к нормальной форме. Затем каждую подформулу вида (A (B  C)) согласно равносильности (6) и каждую подформулу вида ((B  C)  A) согласно равносильности (6') заменить фоpмyлoй ((A  B)  (A  C)).

Формула имеет КНФ, если она имеет нормальную форму и в ней нет подформул вида

(A (B  C)) и ((B  C)  A).

Рассмотрим процесс приведения формулы к КНФ на следующем примере. Пусть дана формула

(p  q)  (p  r).

Приведем ее вначале к нормальной форме:

(p  q)  (p  r);

(p  q)  ((p  r)  (r  p));

(p  q)  ((p  r)  (r  p)).

(p  q)  ((p  r)  (r  p)).

Затем с помощью равносильности (6) получаем формулу

(p  q  p  r)  (p  q  r  p),

которая имеет КНФ.

Формула не единственным образом представима в КНФ. Например, формула

p  q

имеет следующие представления в КНФ:

(р  q)  (q  р);

(р  q)  (q  р  r)  (q  р  r);

(p  q)  (q  q)  (q  p).

Приводя формулу к КНФ, мы будем в дальнейшем пользоваться следующими сокращенными способами преобразования формул.

Так, если знак отрицания стоит перед конъюнкцией [дизъюнкцией], содержащей более двух конъюнктов [дизъюнктов], как, например, в формулах (А  В  С) [(А  В  С)], (А  В  С  D) [(А  В  С  D)] и т.д., то мы не будем восстанавливать скобки и дважды, трижды и т. д. применять правило замены по равносильностям (10) [(11)], а сразу будем писать формулы (А   В   С) (А   В   С)], (А  В   С  D) (А   В   С  D)] и т. д., т. е. пользоваться обобщенными законами де Моргана:

(A₁  A₂  ...  А_n) равносильно A₁  A₂  ... А_n;

(A₁  A₂  ... А_n) равносильно A₁  A₂ ... А_n.

Далее, если в формуле встречаются подформулы вида (А  В)  (C  D), (А  В)  (С  D  Е) и т. п., то вместо того, чтобы дважды, трижды и т. д. применять правило замены по равносильности (6) и (6') и писать, например, в первом случае сначала формулу

((А  В)  С)  ((А  В)  D),

а затем

(С  А)  (С  В)  (D  А)  (D  В),

будем сразу писать последнюю формулу, т. е. пользоваться обобщенным законом дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции:

(A₁ ...  А_m)  (В₁  ... В_n) равносильно

(В₁  A₁) ... (В₁  А_m)... (В_n  A₁) ... (В_n  А_m).

Кроме того, мы не будем писать перед подформулами двойных отрицаний, если последние появятся в ходе преобразований, так как согласно процедуре приведения формулы к КНФ все двойные отрицания должны быть устранены.

Формула, имеющая КНФ, тождественно-истинна тогда и только тогда, когда тождественно-истинны все ее конъюнктивные члены, т. е. когда каждая элементарная дизъюнкция содержит хотя бы одну пару дизъюнктов, из которых один есть некоторая переменная, а другой — ее отрицание.

Таким образом, по виду некоторой формулы в КНФ можно судить о том, тождественно-истинна она или нет. Например, пусть дана формула

(р  q)  (q  р).

Приводим ее к КНФ:

((р  q)  (q  р))  ((q  р)  (р  q));

((р  q)  (q  р))  ((q  р) (p  q));

((р  q)  (q  р))  ((q  р) (p  q));

(q  p  p)  (q  p  q)  (p  q  q)  (p  q  p).

Можно видеть, что все конъюнктивные члены КНФ данной формулы содержат некоторую переменную одновременно со знаком отрицания и без него. Следовательно, данная формула тождественно-истинная.

Каждая не тождественно-истинная формула имеет КНФ, которая называется совершенной.

Определение. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) некоторой формулы называется такая ее КНФ, которая удовлетворяет следующим условиям:

а) в ней нет двух одинаковых конъюнктивных членов (одинаковыми считаются такие конъюнктивные члены, которые получаются один из другого в результате замены по равносильности (4));

б) ни в одном конъюнктивном члене нет двух одинаковых дизъюнктов;

в) ни в одном конъюнктивном члене нет таких двух дизъюнктов, из которых один есть переменная, а другой — отрицание этой переменной;

г) в каждом конъюнктивном члене содержатся все переменные данной формулы.

Для того чтобы привести формулу к СКНФ, необходимо:

1. известным уже способом привести ее к КНФ;

2. на основании равносильностей (2), (4) и (8) устранить из КНФ повторяющиеся конъюнкты, т. е. из всех имеющихся одинаковых конъюнктивных членов оставить один и вычеркнуть остальные;

3. на основании равносильностей (4) и (9) устранить все повторения в конъюнктивных членах КНФ, т. е. из всех имеющихся одинаковых дизъюнктов оставить один и вычеркнуть остальные;

4. на основании равносильностей (2), (4) и (47) устранить из КНФ те конъюнктивные члены, которые являются тождественно-истинными элементарными дизъюнкциями;

5. ко всем тем конъюнктивным членам, в которых отсутствует какая-нибудь из содержащихся в данной формуле переменных Е, на основании равносильности (50) приписать знак дизъюнкции и вслед за ним тождественно-ложную конъюнкцию (Е  Е), а затем применить правило замены по равносильности (6). Эту процедуру повторять до тех пор, пока не окажется, что в каждый конъюнктивный член входят все переменные, содержащиеся в данной формуле;

6. если в получившейся КНФ снова появились одинаковые конъюнктивные члены, то надо устранить повторения.

Пусть, например, к СКНФ нужно привести формулу

((p  q)  (r  p)  (q  r)) р.

Вначале приведем ее к КНФ:

((p  q)  (r  p)  (q  r))  p;

((p  p  q)  (p  r  p)  (p  q  r)).

Затем вычеркиваем первый конъюнктивный член и устраняем повторения во втором. Получаем формулу

(p  r)  (p  q  r).

Так как в первом конъюнктивном члене отсутствует переменная q, то присоединяем к нему знаком дизъюнкции формулу (q  q):

(р  r  (q  q))  (р  q  r).

Воспользовавшись законом дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции, получаем формулу

(р  r  q)  (р  r  q)  (р  q  r).

Устраняем один из одинаковых конъюнктивных членов и получаем формулу в СКНФ:

(р  r  q)  (р  r  q).

Упражнения

I. Привести к КНФ следующие формулы и проверить, являются они тождественно-истинными или нет:

1. р  ((р  q)  q);

2. ((р  q)  (r  s))  ((р  r)  (q  s));

3. (р  q)  ((р  r)  (q  r));

4. (р  (q  r))  ((р  q)  (р  r));

5. ((р  q)  (р  r))  (р  (q  r));

6. (p  q)  ((p  r)  (q  r)).

7. ((p  q)  r)  (p  r);

8. (p  r)  ((q  r)  p);

9. (p  q)  (q  (p  r));

10. (p  r)  (q  (q  r)).

II. Привести к СКНФ следующие формулы:

1. (р  q)  (q  r);

2. (( ( р  q)  q)  q)  (р  r);

3. (p  q)  ((p  r)  (q  r)).

4. ((p  q)  r)  (p  r);

5.  (p  r)   ((q  r)  p);

6. (p  q)  ((q  p)  r);

7.  (p  r)  (q  (q  r)).