§ 6. Правило равносильной замены

Используя транзитивность отношения равносильности, мы, зная о равносильности одних формул, можем судить о равносильности других. Например согласно (13) формула

p  q (a)

равносильна формуле

p  q. (б)

Последняя же, согласно (15), равносильна формуле

~ (~ ~p  q). (в)

В силу транзитивности отношения равносильности отсюда следует, что формулы (а) и (в) равносильны.

Поскольку же формула (в) согласно (10) равносильна формуле

~~~ p  ~q, (г)

устанавливаем, что формулы (а) и (г) также равносильны.

Аналогичным образом, используя транзитивность и симметричность отношения равносильности, на основании соотношений (1), (19), (14), можно установить, например, равносильность формул р и ~р  (~р  q) и т. п.

Далее, подобно тому как в элементарной алгебре заменой «равного равным» осуществляют тождественные преобразования алгебраических выражений, в логике также пользуются правилом замены, позволяющим осуществлять равносильные преобразования и от одних формул переходить к другим, равносильным им формулам. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть А_B обозначает формулу А с выделенным вхождением подформулы В, а А_B — формулу, которая получается из А заменой выделенного вхождения В в А на формулу В. Тогда если В равносильно В, то А_B равносильно А_B.

Доказательство. Докажем это утверждение методом математической индукции. Для формулы А_B построим ее таблицу Т с перечнем пропозициональных переменных E₁, Е₂,..., Е_n, содержащим все переменные формул А и В, а для формулы А_B — ее таблицу Т с таким же перечнем пропозициональных переменных.

Рассмотрим случай, когда А_B — пропозициональная переменная. В этом случае А_B совпадает с В, а А_B — с В. Поэтому очевидно, что А_B равносильно А_B.

Рассмотрим, далее, случаи, когда А_B не является пропозициональной переменной.

Случай 1. Пусть главным логическим знаком формулы А_B является ~. Тогда А_B имеет вид ~С_B, а А_B имеет вид ~С_B. Предположим, что теорема верна для формулы С_B, т. е. С_B равносильно С_B. Построим для формул С_B и С_B соответственно таблицу T₁ с перечнями пропозициональных переменных E₁, Е₂,..., Е_n, и таблицу T₁ с тем же перечнем переменных. Можно видеть, что таблица Т₁ содержится в таблице Т, а таблица T₁ — в таблице Т. Так как по индуктивному предположению С_В равносильно С_B, заключительные столбцы логических значений в T₁ и T₁ совпадают. На основании таблицы для ~ заключаем, что в этом случае совпадают и заключительные столбцы таблиц Т и Т. Отсюда следует, что ~С_B равносильно ~С_B, т. е. А_B равносильно А_B.

Случай 2. Пусть главным логическим знаком формулы А_B является . Тогда А_B можно представить в одном из следующих видов:

а) С_B  D; б) С  D_B,

так как выделенное вхождение подформулы В может содержаться только в одном из конъюнктов.

Рассмотрим подслучай а). Предположим, что теорема верна для формулы С_B, т. е. С_B равносильно С_B. Построим для формул С_B, С_B и D соответственно таблицы T₁, T₁ и Т₂, каждую с перечнем пропозициональных переменных E₁, Е₂,..., Е_n. Можно видеть, что T₁ содержится в Т, T₁ — в T, а Т₂ в Т и Т. Так как по индуктивному предположению С_B равносильно С_B, заключительные столбцы логических значений в T₁ и T₁ совпадают. Но тогда на основании таблицы для  заключительные столбцы логических значений для С_B  D в Т и для С_B  D в Т тоже совпадают. Отсюда следует, что С_B  D равносильно С_B  D, т. е. А_B равносильно А_B.

Подслучай б) рассматривается аналогично.

В остальных четырех случаях, когда А_B содержит в качестве главного логического знака , ,  и  доказательство того, что если В равносильно В, то А_B равносильно А_B, протекает сходным образом на основании таблиц для соответствующих логических знаков.

Правило, разрешающее в формуле А выделенное вхождение подформулы В заменять равносильной формулой В, называется правилом равносильной замены.

Это правило позволяет, опираясь на равносильность одних формул (В и В), устанавливать равносильность других (А и А). Равносильности (1) — (22) были обоснованы с помощью таблиц. Теперь с помощью этих равносильностей, пользуясь правилом замены, мы можем устанавливать равносильность формул уже без обращения к таблицам.

Пусть, например, дана формула

~(p  q)  r. (а)

Заменяем, согласно равносильности (10) подформулу этой формулы ~(p  q) равносильной ей формулой (p  q). В результате получаем формулу

(~p  q)  r. (б)

Далее, так как каждая формула рассматривается в качестве подформулы самой себя, то заменяем согласно равносильности (13) формулу (б) формулой

(~p  ~q)  r. (в)

Затем подформулу этой формулы ~(~р  ~q) заменяем согласно равносильности (11) формулой (~~p  ~~q) и получаем формулу

(~~р  ~~q)  r. (г)

Заменив теперь согласно равносильности (1) подформулу ~р и подформулу ~~q соответственно формулами р и q, получаем формулу

(р  q)  r. (д)

Согласно правилу замены формула (а) равносильна формуле (б); формула (б) — формуле (в); формула (в) — формуле (г) и формула (г) —формуле (д), откуда в силу транзитивности отношения равносильности следует, что формула (а) равносильна формуле (д).

Упражнения

I. Пользуясь одним только свойством транзитивности отношения равносильности с помощью (1)—(22), доказать равносильность следующих формул:

1. p  (q  r) и ~(р  q)  (р  r);

2. ~(р  q) и ~(~ р  ~~q);

3. ~р  (q  r) и (~~р  q)  (~~р  r);

4. (~~q  ~p)  (~~p  ~q) и ~~(~q  ~р);

5. ~(р  ~q) и ~(~р  ~q);

6. p  q и (р  q)  (q  р).

II. Используя (1)—(27) и правило замены, доказать следующие равносильности:

А  В равносильно ~А  В; (28)

А  В равносильно ~(А  ~В); (29)

~(А  В) равносильно (А  ~В); (33)

А  В равносильно ~(~А  ~В); (31)

А  В равносильно ~(~А  ~В); (32)

~(А  В) равносильно ~(А  ~В); (33)

~(А  В) равносильно (~А  ~В). (34)

III. Используя равносильности (1)—(34), с помощью правила замены доказать равносильность следующих формул:

1. (p  q)  (p  p) и p  (q  p);

2. ~(~р  ~q) и ~р  q;

3. р  ~q и q  ~р;

4. ((p  q)  p)  q и p  q;

5. ~(р  q) и (р  ~q)  (q  ~p);

6. ~(р  q) и р  q;

7. р  q и ~р  ~q.