§ 2. Векторное поле
1. Векторное поле. Векторные линии и векторные поверхности
Рассмотрим
некоторую пространственную область
.
Если с каждой этой области связано
значение некоторой векторной величины
,
то говорят, что определено векторное
поле
.
Очевидно, что задание одного векторного
поля равносильно заданию трёх скалярных
полей
,
и
,
где
- точка, принадлежащая области
,
а переменная
имеет смысл времени. В том случае, если
координаты вектора
не зависят от времени, то поле вектора
называется стационарным.
рис. 3
Рассмотрим в поле вектора некоторую кривую , которая обладает таким свойством, что вектор поля, соотнесенный каждой точке этой кривой , касается этой кривой в указанной точке. Такая кривая называется векторной линией (рис. 3).
Пусть
через каждую точку некоторой кривой
проходит векторная линия
.
Совокупность векторных линий образует
так называемую векторную поверхность
(рис. 3). В том случае, если кривая
представляет собой замкнутый контур,
то векторная поверхность называется
векторной трубкой.
Допустим,
что векторная линия
задана пересечением двух поверхностей
и
.
Вектор
,
лежащей на касательной к кривой
,
как известно, имеет координаты
.
Так как вектор
коллинеарен вектору
в соответствии с определением векторной
линии, то их координаты пропорциональны:
.
Эта
система дифференциальных уравнений
является системой уравнений векторных
линий
.
Если мы хотим найти векторную линию,
проходящую через точку
,
то нам нужно решить соответствующую
задачу Коши.
З
адача.
Найти векторную линию
векторного поля
,
проходящую через точку
(рис. 4).
Решение. Дифференциальное уравнение семейства векторных линий
.
Итак, нужно выделить интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через точку .