2. Производная по направлению

Для изучения свойств скалярного поля прежде всего бывает необходимо выяснить, как меняется это поле при переходе от одной точки поля к другой. Допустим, что мы рассматриваем скалярное поле , где функция дифференцируема в каждой точке поля, т.е. её полное приращение ,

где , и стремятся к нулю, если .

Выберем в поле скалярной величины некоторое направление, определяемое осью ( - орт этого направления).

Возьмём на оси две точки и . Обозначим пр (рис. 1).

О чевидно, что , если направление вектора совпадает с направлением оси и , если они противоположны.

Дадим теперь определение производной функции по направлению .

Определение. Производной функции по направлению называется

,

где пр , а точки и лежат на оси .

Производная по направлению обозначается , т.е.

. (рис. 1)

Примем теперь во внимание, что функция дифференцируема, тогда получим

.

Если ось образует углы , и с координатными осями, то очевидно, что а тогда в пределе получим:

.

Ясно, что единичный вектор направления имеет своими координатами направляющие косинусы оси , т.е. , где , и - углы, которые вектор образует с координатными осями. Следовательно, производную по направлению можно представить в виде скалярного произведения вектора и вектора , т.е. , где вектор (это было получено ранее) есть ни что иное, как нормаль к поверхности уровня . Напомним, что производная имеет механический смысл - скорость. Значит, производная по направлению даёт нам скорость изменения поля в направлении оси . Нетрудно заметить также, что мы уже ранее рассматривали производные по направлению, а именно, это были производные по направлению координатных осей , и , т.е. изученные ранее частные производные и .

Заметим, что понятие производной по направлению обобщают и на случай, когда это направление задаётся некоторой кривой линией . В этом случае в качестве направляющих косинусов направления берут направляющие косинусы касательной к кривой в точке дифференцирования.

Пример. Найти производную скалярного поля по направлению кривой от точки к точке в точке .

Р ешение. Найдём единичный вектор , касательный к параболе в точке . Найдём угловой коэффициент прямой, на которой лежит вектор :

.

Прямая имеет угловой коэффициент и проходит через точку , следовательно, её уравнение .

Запишем это уравнение в каноническом виде: . Вектор - направляющий вектор этой прямой, причём его направление соответствует направление на кривой от точки к точке . Соответствующий ему единичный вектор , т.е. его направляющие косинусы , .

Найдём теперь , , а тогда производная по направлению функции в точке по кривой от точки к точке будет

.

3. Градиент скалярного поля. Его свойства. Связь градиента скалярного поля с производной по направлению. Оператор Гамильтона

Рассмотрим скалярное поле и предположим, что в некоторой области функция дифференцируема, т.е. существуют непрерывные частные производные

,

а поверхности уровня не имеют особых точек, т.е. таких точек, в которых все три частные производные обращались бы в ноль. При сделанных предположениях поверхность уровня в каждой своей точке имеет касательную плоскость, а следовательно и нормаль к поверхности , которая, как известно, имеет координаты и , т.е.

.

В правой части здесь стоит скалярное произведение векторов и , т.е. пр . Скалярное произведение вектора на некоторый орт можно осмыслить как проекцию этого вектора на орт, следовательно, пр . Очевидно, что эта производная имеет наибольшее значение, если направление оси совпадает с направлением градиента, т.е. можно сделать вывод, что в направлении градиента скалярное поле имеет наибольшую скорость изменения. Вычислим эту наибольшую скорость изменения скалярного поля: т.к.

то ясно, что

.

Итак, можно сделать окончательный вывод: в направлении своего градиента скалярное поле имеет наибольшую скорость изменения, и эта скорость равна модулю градиента скалярного поля.

Задача 2. Дано поле температур .

Найти наибольшую скорость изменения поля в точке .

Решение. Абсолютная величина наибольшей скорости изменения поля, совпадающая со значением модуля градиента поля температур, будет равна

.

Очевидно также следующие свойства градиента скалярного поля:

1)

2)

3) .

В этом нетрудно убедиться самостоятельно.

Для компактной записи градиента скалярного поля введём в рассмотрением символический вектор - оператор Гамильтона (вектор "набла"), который обозначается так: " " и равен по определению

,

т.е. ясно, что с помощью оператора Гамильтона градиент скалярного поля можно следующим образом:

.

В заключение этого параграфа решим ещё одну задачу.

Задача 3. Найти градиент потенциала электростатического поля, образованного точечным зарядом

.

Решение. Найдите прежде всего поверхности уровня данного поля. Положим , т.е. , т.е. поверхности уровня представляют собою концентрические сферы с центром в точке, где находится электрический заряд.

Найдём , где , , т.е. градиент направлен по радиусу рассматриваемого семейства сфер, причём функция возрастает с уменьшением ; вектор

.

называется напряженностью электрического поля.