§ 3. Формула Остроградского

Рассмотрим некоторое тело , ограниченное снизу простой поверхностью , уравнение которой , сверху - простой поверхностью , - уравнение которой , а с боков цилиндрической поверхностью , образующие которой параллельны оси , а направляющей служит контур области в плоскости .

Д опустим, что функции и определены и непрерывны в простой области плоскости и имеют в ней непрерывные частные производные (рис. 4).

Пусть, кроме того, в теле определена непрерывная функция , имеющая непрерывную производную . При таких предположениях существует тройной интеграл

.

Вычислим его, выразив через повторный:

.

Здесь внутренний интеграл

.

Следовательно,

103