§ 2. Поверхностные интегралы второго рода

Определение. Пусть в каждой точке двухсторонней поверхности задана функция . Выберем на поверхности сторону поверхности (верхнюю или нижнюю).

Разобьём поверхность сетью простых кривых на ячейки , которые проектируются на плоскость в ячейки с площадями . Наибольший из диаметров ячейки назовём рангом дробления и обозначим его . В каждой частичной ячейке возьмём произвольную точку и вычислим в ней значение функции . Умножим на площадь проекции ячейки на плоскости , т.е. составим произведение и составим интегральную сумму для верхней и для нижней стороны поверхности соответственно:

и .

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, будем искать предел

.

Если этот предел, не зависящий от способа дробления и выбора точек , существует, то он называется поверхностным интегралом второго рода соответственно по верхней и по нижней стороне поверхности и обозначается

.

Аналогично определяются интегралы и , причём принято обозначение

,

где все интегралы берутся по одной и той же стороне поверхности.

Свойства поверхностных интегралов очевидно. Отметим только, что если поверхности представляет собой цилиндрическую поверхность, образующие которой перпендикулярны плоскости , то .

Это с очевидностью следует из определения поверхностного интеграла второго рода.

1. Теорема существования поверхностного интеграла второго рода

Теорема. Если двухсторонняя поверхность задана уравнением , причём и частные производные и существуют и непрерывны в простой области плоскости и если в каждой точке поверхности задана непрерывная функция , то поверхностный интеграл по верхней и нижней стороне поверхности существует и выражается через двойной интеграл для верхней стороны поверхности :

и соответственно для нижней стороны поверхности :

.

Пример. Вычислить по нижней стороне поверхности , заданной уравнением над областью , ограниченной прямыми (рис. 3).

Р ешение. В соответствии с теоремой существования и принимая во внимание, что поверхностный интеграл берётся по нижней стороне поверхности , получим

2. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

Будем рассматривать поверхностные интегралы первого и второго рода по двухсторонней поверхности , нормаль к которой образует углы , и соответственно с координатными осями , и . Покажем, что

, (1)

причём здесь через обозначен угол нормали, входящей в выбранную сторону поверхности интегрирования в интеграле, стоящем слева, с осью .

Для доказательства перейдём в интегралах, стоящих в левой и правой частях равенства (1), к двойному интегралу в силу теоремы существования, считая, что двухсторонняя поверхность задана уравнением , причём , и определены и непрерывны в простой области плоскости , тогда получим

,

.

Мы видим, что правые части этих равенств совпадают, следовательно, совпадают и левые, т.е.

.

Аналогично можно доказать и такое, более общее, соотношение:

где через , и обозначены углы нормали, входящей в выбранную сторону поверхности интегрирования, в интегралы, стоящие слева, с координатными осями , и , а интегралы, стоящие в правой и левой частях равенства, существуют.