
,
следовательно, нашелся контур
такой, что
.
Теорема
2. Если в каждой точке
области
функции
и
непрерывны и имеют непрерывные частные
производные
,
то выражение
является полным дифференциалом
непрерывной функции
,
т.е.
.
Д
оказательство.
Пусть в каждой точке области
выполнено условие (1). Закрепим точку
и пусть
- какая-нибудь точка области
.
Тогда
зависит от точки
,
но не зависит от линии
.
Это означает, что написанный интеграл
является функцией переменных
и
.
Обозначим через
,
тогда можно написать:
.
Попробуем продифференцировать функцию
по переменной
(рис. 10). Для этого, исходя из точки
,
дадим
приращение
,
взяв его столь малым, чтобы отрезок
,
соединяющий точки
и
,
целиком лежал в области
,
тогда будет
.
Выразим криволинейный интеграл, стоящий
в правой части, через определённый,
учитывая, что на отрезке
постоянен, т.е.
,
а
.
Тогда получим
.
Применим к определённому интегралу,
стоящему справа, теорему о среднем,
тогда будет
,
причём
,
тогда
.
Итак, мы получили
.
Аналогично можно доказать, что частная
производная
также существует, причём
.
Следовательно, функция
дифференцируема, причём
.
Следствие.
По предположению теоремы
и
непрерывны, следовательно, непрерывны
и
,
а тогда непрерывна и сама функция
.
Замечание.
Доказанная теорема даёт нам возможность
находить функцию
по её полному дифференциалу с помощью
криволинейного интеграла. Для этого
нужно закрепить какую-нибудь точку
,
а затем, взяв произвольную точку
,
соединить их какой-нибудь простой кривой
и вычислить
,
лишь бы только на этой кривой были
выполнены условия теоремы существования
криволинейного интеграла второго рода.
Доказанные выше две теоремы позволяют сформулировать такую общую теорему.
Теорема.
Если в области
заданы непрерывные функции
и
,
имеющие непрерывные частные производные
и
,
то любые из следующих утверждений
равносильны (т.е. из одного следует
другое и наоборот):
1.
зависит от точек
и
,
но не от кривой
.
2. Каков бы ни был замкнутый самонепересекающийся контур ,
.
3. Всюду в : .
4. Выражение есть полный дифференциал некоторой функции .
Пример.
Убедиться, что выражение
является полным дифференциалом некоторой
функции и найти с её помощью криволинейный
интеграл второго рода.
Решение. Прежде всего убедимся, что приведённое выражение является полным дифференциалом некоторой функции .
Обозначим
,
.
Найдём
.
Очевидно, что , т.е. действительно данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.
.
Найдём функцию
,
вычислив криволинейный интеграл по
кривой
,
состоящей из двух отрезков:
и
,
т.е. будет
.
Заметим, что на
:
,
,
;
на
:
,
,
,
следовательно:
Ответ:
,
где
- произвольная постоянная (рис. 11).
Заметим, что при решении данного примера мы не имеем права поместить точку в начало координат, т.к. в этом случае подынтегральная функция будет претерпевать разрыв, т.е. нарушится условие теоремы существования определённого интеграла.
Замечание
1. Заметим, что если при
интегрировании дифференциального
уравнения
оказывается, что выполнено условие
,
то это говорит о том, что левая часть
данного дифференциального уравнения
представляет собой полный дифференциал
некоторой функции
,
т.е.
.
В этом случае дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.
Очевидно, что можно легко найти общий
интеграл этого уравнения, а именно:
,
а функция
находится, как показано выше, с помощью
криволинейного интеграла второго рода,
т.е.
.
Замечание 2. Можно доказать, что для того, чтобы криволинейный интеграл
в некоторой области не зависел от пути интегрирования, необходимо, чтобы в каждой точке этой области выполнялись условия
,
,
при
этом функции
,
и
предполагаются непрерывными и имеющими
непрерывные указанные частные производные
всюду в
,
а на кривой
выполнены условия теоремы существования
криволинейного интеграла второго рода.
Глава V. Поверхностные интегралы
§ 1. Поверхностные интегралы I рода
Определение.
Пусть
- квадрируемая поверхность, в каждой
точке которой определена функция
.
Разобьём
поверхность
сетью простых кривых на ячейки
,
,…,
с площадями
и диаметрами
.
Наибольший из диаметров частичных ячеек
обозначим через
и будем называть его рангом дробления.
В каждой
частичной ячейке
возьмём произвольную точку
и вычислим в ней значение функции
.
Умножим
на площадь ячейки
и составим интегральную сумму
.
Измельчая
дробление таким образом, чтобы ранг
дробления стремился к нулю, будем искать
предел
.
Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности на ячейки и выбора точек , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается так:
.
Теорема существования поверхностного интеграла первого рода.
Если
поверхность
задана уравнением
,
причём функция
определена и непрерывна в простой
области
плоскости
и имеет в этой области непрерывные
частные производные
и
и если в каждой точке поверхности
функция
непрерывна, то тогда поверхностный
интеграл первого рода от функции
существует и выражается через двойной
интеграл так:
.
(без доказательства).
Не будем перечислять свойства поверхностного интеграла первого рода, т.к. они достаточно очевидны.
Пример.
В каждой точке поверхности
,
лежащей в первом октанте, уравнение
которой
,
распределена масса с плотностью
,
где
.
Вычислить массу пластинки.
Решение.
,
,
.
Следовательно,
масса
кв. ед.
§ 2. Двухсторонние и односторонние поверхности. Сторона поверхности.
В
озьмём
некоторую поверхность
и рассмотрим нормаль к этой поверхности
в точке
.
Зафиксируем на нормали одно из двух
возможных направлений (рис. 1).
Возьмём на поверхности некоторый контур,
не пересекающий границы поверхности
.
Если мы будем перемещать основание
нормали в направлении
,
то нормаль,
обойдя этот контур,
вернётся к точке
и займёт либо исходное положение
,
либо перевёрнутое
.
Если на поверхности нет ни одного контура, который переворачивал бы нормаль после его обхода, то такая поверхность называется двухсторонней, а если есть хотя бы один контур, переворачивающий нормаль, то такая поверхность называется односторонней.
Примером
односторонней поверхности может служить
лист Мёбиуса, который легко можно
изготовить, взяв полоску бумаги (рис.
2) и соединив точку
с точкой
,
точку
с точкой
.
Нетрудно
заметить, что обход контура
переворачивает нормаль.
Определение. Совокупность точек двухсторонней поверхности вместе с соответствующими направлениями нормалей, непрерывно переходящих друг в друга при перемещении основания нормали по поверхности, не пересекая его границы, называют стороной поверхности.
В соответствии с приведённым определением можно сделать вывод, что двухсторонняя поверхность имеет две стороны поверхности: верхнюю и нижнюю, а односторонняя поверхность не имеет ни одной стороны поверхности.
Причём,
если двухсторонняя поверхность задана
уравнением
,
где
и частные производные
и
непрерывны в области
плоскости
,
то для верхней стороны поверхности
направляющие косинусы нормали определяются
выражениями
,
,
,
а для нижней стороны поверхности соответственно
,
,
.