н аправлением кривой. Действительно, пусть при движении по кривой от к точка предшествует точке , тогда будем считать, что секущая, проходящая от к , имеет направление, совпадающее с направлением кривой . Касательная есть предельное положение секущей при условии, что . Тогда направление с секущей переходит на касательную, и про такую касательную говорят, что она имеет направление, совпадающее с направлением кривой .

Найдём работу силы по перемещению материальной точки из точки в точку вдоль кривой (рис. 3).

Р азобьём кривую произвольным образом на частей и будем считать, что каждый -й участок кривой - прямолинейный отрезок, длина которого , сила на каждом таком участке постоянная по величине и направлению, и угол между силой и участком кривой равен . Тогда элементарная работа силы на рассматриваемом участке . Отсюда вся работа

.

§ 2. Криволинейные интегралы второго рода

1. Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть в плоскости лежит кривая , в каждой точке которой определена функция (рис. 1).

Разобьём кривую произвольным образом точками , , следующими друг за другом, на частей, пусть , , …, - диаметры дуг , , наибольший из диаметров , равный , есть ранг дробления.

На каждой дуге возьмём произвольную точку и вычислим в ней значение функции , т.е. составим произведение .

Просуммируем все такие произведения, т.е. составим интегральную сумму (сумму Римана):

.

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, ищем предел

.

Если этот предел существует, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции по кривой и обозначается так:

.

Итак, короче:

.

Определение относится к плоской кривой. Точно так же определяется интеграл по пространственной кривой .

Аналогично определяются интегралы и . Сумму интегралов по кривой обозначают так:

Всё сказанное не исключает случая, когда точка совпадает с точкой , т.е. кривая представляет собой замкнутый контур , в этом случае криволинейный интеграл второго рода обозначается так:

,

причём безразлично, в какой точке следует начать движение по контуру. Следует заметить, что если - есть плоский замкнутый самонепересекающийся контур, то у такого контура различают положительное и отрицательное направление обхода, а именно: за положительное направление обхода принимают такое направление, при котором область, ограниченная контуром , остается слева, если наблюдатель движется по контуру. В таком случае, если - пространственная кривая, то направление обхода контура оговаривается особо. Иногда для интегралов по замкнутому самонепересекающемуся контуру употребляют такие обозначения:

и .

2. Теорема существования криволинейного интеграла

второго рода

Теорема. Пусть кривая задана уравнениями , , где и непрерывны на промежутке , причём также существует и непрерывна на , причём, когда параметр возрастает от до , то кривая (или контур ) описывается в одном и том же направлении от до .

Пусть также в каждой точке кривой задана непрерывная функция .

Тогда криволинейный интеграл второго рода от функции по кривой существует и выражается через определённый интеграл так:

.

Частный случай. Если кривая задана уравнением , где - непрерывная на промежутке функция, и если в каждой точке кривой задана непрерывная функция , то тогда криволинейный интеграл второго рода существует и выражается через определенный интеграл так:

.

3. Свойства криволинейного интеграла второго рода

Остановимся на некоторых свойствах и применениях криволинейного интеграла второго рода, причём не будем упоминать и доказывать свойства, которые очевидны.

1. При определении криволинейного интеграла второго рода нужно различать начало и конец пути интегрирования, а именно:

.

Это свойство станет очевидным, если для одного и того же способа разбиения составить интегральные суммы для интегралов, стоящих в левой и прямой части равенства.

2. В том случае, если кривая замкнута, т.е. представляет собой замкнутый контур , то

,

т.е. изменение направления обхода контура меняет знак интеграл на противоположный.

3. Если функция интегрируема на кривой и если точка разбивает кривую на два участка и , то

.

Для доказательства этого свойства достаточно составить интегральную сумму, а точку включить в число точек дробления.

4. Очевидно, что если кривая есть прямолинейный отрезок, перпендикулярный оси , то при любой интеграл существует и равен нулю.