3. Геометрический смысл тройного интеграла

В том случае, если подынтегральная функция , то очевидно, что тройной интеграл даёт нам объём тела , по которому ведётся интегрирование.

Пример 1. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью (рис. 11).

Решение. Искомый объём , где тело есть пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями.

Очевидно, что этот тройной интеграл можно выразить шестью различными способами через трёхкратный:

или

или

Проведём вычисления по последней формуле (нетрудно убедиться, что остальные интегралы вычисляются аналогично), получим

.

Имеем .

Наконец, куб. ед.

§ 3. Приложения двойных и тройных интегралов

1. Вычисление площади плоской области

Мы установили, что площадь плоской области может быть вычислена по формуле

.

2. Вычисление площади кривой поверхности

Ранее мы установили, что площадь кривой поверхности , заданной уравнением и расположенной над областью в плоскости , вычисляется по формуле

,

где .

3. Вычисление объёма тела

Пусть тело ограничено снизу простой областью , сверху - поверхностью непрерывна в области , а с боков цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит контур области , то объём тела можно вычислить с помощью двойного интеграла так:

или так:

.

4. Вычисление массы поверхности

Пусть в каждой точке поверхности , заданной уравнением плотность равна , где - непрерывная функция в каждой точке поверхности , а функция - непрерывна в области плоскости и имеет в ней непрерывные частные производные

и .

Разбивая произвольным образом поверхность на частей, заметим, что масса -й ячейки приблизительно равна , где - площадь -й ячейки, тогда масса всей поверхности :

.

Справа здесь стоит интегральная сумма для непрерывной функции. Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе мы получим такую формулу для вычисления массы поверхности :

.

В частности, если поверхность лежит в плоскости , т.е. совпадает с областью , то .

5. Вычисление массы тела

Если в каждой точке тела , ограниченного простой поверхностью, задана плотность , где - непрерывная функция в каждой точке тела , то, проведя аналогичные рассуждения, получим, что масса тела

.

6. Моменты плоской фигуры

Из курсов теоретической механики известно, что статическим моментом материальной точки массы относительно оси называется произведение массы этой точки на расстояние до оси , т.е. .

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется произведение массы этой точки на квадрат её расстояния от оси , т.е. .

Статическим моментом системы материальных точек относительно оси называется сумма статических моментов относительно этой оси всех материальных точек, входящих в систему.

Пусть в плоской области распределена масса с плотностью . Разобьём область на частей, - площадь -й ячейки ( ). В ячейке возьмём произвольную точку , тогда в силу сделанного выше определения можем считать, что

.

Измельчая дробление, в пределе получим точные значения для статических моментов области о осей и :

.

Проводя аналогичные рассуждения для моментов инерции области относительно координатных осей, получим

.