5. Приложение определённого интеграла к
экономическим задачам
Рассмотрим следующую типовую задачу.
Предприятие
выпускает однородную продукцию.
Интенсивность её выпуска в различные
моменты времени
может быть различной в силу неравномерности
поставок сырья и других причин.
Интенсивность выпуска продукции
обозначим
- это количество выпущенной продукции
за единицу времени, начиная с момента
(в предположении, что с этого момента
интенсивность постоянна).
Стоимость
единицы выпускаемой продукции также
не постоянна, а меняется по закону
,
в силу различной стоимости сырья,
стоимости труда, величины налогов и
т.д. Требуется найти стоимость выпущенной
продукции за промежуток времени
.
Будем предполагать функции
и
непрерывными.
Пусть
- искомая стоимость. Подсчитаем стоимость
продукции, выпущенной за промежуток
времени
.
Если бы интенсивность
и стоимость
за этот малый промежуток времени не
менялись, то
.
Если же они меняются, то это произведение
является лишь главной частью
,
пропорциональной
,
что можно записать в виде
.
Здесь
- бесконечно малая высшего порядка, чем
при
.
Действительно, за бесконечное время
функции
и
изменятся на бесконечно малые величины
и
соответственно, что в произведении с
даст бесконечно малую высшего порядка,
чем
.
Эта бесконечно малая отнесена в
.
Итак,
слагаемое
есть главная часть
,
пропорциональная
,
т.е. по определению - дифференциал функции
- стоимость выпущенной продукции к
моменту
,
начиная с какого-либо фиксированного
момента:
.
Тогда,
интегрируя дифференциал в пределах
и
,
находим
.