2. Работа переменной силы

Задача 1. Какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда радиуса ?

Р ешение. Плоскостями, параллельными плоскости воды, разобьём полушар на элементы толщины (рис 1). Элементарная сила (сила тяжести), действующая в направлении оси на слой, толщиной , с точностью до бесконечно малых высших порядков относительно равна , гда - плотность воды, - ускорение свободного падения. Следовательно, элементарная работа силы равна

,

где - уровень воды, ; отсюда находим

.

3. Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость

Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади с глубиной погружения равна

,

где - плотность жидкости, - ускорение свободного падения.

Задача 2. Треугольный щит вертикально опущен в воду, причём основание треугольника находится на уровне воды (рис 2). Требуется найти силу давления на одну из сторон щита, если щит имеет форму равностороннего треугольника .

Р

рис 2

ешение. Прямыми, параллельными плоскости воды, разобьём треугольник на элементы (полоски) ширины . Площадь одного такого элемента (отбрасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии от поверхности воды, равна . Из подобия треугольников, изображенных на рис 2, ясно, что длина полоски удовлетворяет соотношению

,

откуда и, следовательно, элементарное давление на полоску ширины равно . Отсюда

Задача 3. Найти силу давления , испытываемую полукругом радиуса , погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды (рис 3).

Разобьём площадь полукруга на элементы (полоски) ширины , параллельные поверхности воды.

П лощадь одного такого элемента (отбрасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии от поверхности воды, равна

.

Сила давления, испытываемая этим элементом, равна , где - плотность воды, - ускорение свободного падения. Отсюда вся сила давления есть

4. Моменты. Центры масс плоских фигур.

Моментом инерции относительно оси материальной точки , имеющей массу и отстоящей от оси на расстояние , называется величина .

Моментом инерции относительно оси системы материальных точек с массами называется сумма

где - расстояния точек до оси . В случае сплошной массы, распределённой в плоской области, вместо суммы должен быть соответствующий интеграл.

Задача 4. Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием и высотой , относительно его основания. Будет предполагать пластинку однородной, так что её поверхностная плотность равна (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) будет постоянной и, следовательно, , где - площадь пластинки.

Р ешение. За основание треугольника примем ось , а его высоту за ось (рис 4). Разобьём треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины , играющие роль элементарных масс .

Используя подобие треугольников получаем:

.

Площадь бесконечно тонкой горизонтальной полоски ширины равна , тогда получим

,

откуда .

Следовательно, .

Статическим моментом относительно оси материальной точки , имеющей массу и отклонение (с учётом знака) оси , называется величина .

Статическим моментом относительно оси системы материальных точек с массами , лежащих в одной плоскости с осью и имеющих отклонения (с учётом знаков) от этой оси (рис 5) называется сумма

.

Если массы непрерывно заполняют фигуру плоскости , то вместо сумм должен быть соответствующий интеграл.

рис 6

Задача 5. Найти статический момент однородной пластинки, имеющей форму полукруга радиуса и плотность , относительно основания полукруга.

Решение. Основание полукруга поместим на ось , а за ось примем перпендикуляр к оси , проходящий через центр полукруга (рис 6). Разобьём полукруг на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины . Элементарный статический момент этой бесконечно тонкой полоски относительно оси будет равен , следовательно, .

Из треугольника (рис 6) по теореме Пифагора находим .

Следовательно,

.

Интегрируя это равенство по , получим:

.

Координаты центра масс плоской фигуры массы вычисляются по формулам

где и - статические моменты плоской фигуры массы .

Задача 6. Найти координаты центра масс однородной пластинки, рассмотренной в предыдущем примере.

Р ешение. Так как пластинка предполагается однородной (плотность ), то в силу симметрии пластинки её центр масс должен лежать на оси , т.е. (рис. 7).

Масса пластинки равна

а так как из предыдущего примера известно, что , то будем иметь . Итак, - центр масс однородного полукруга радиуса .