П ример 6. Найти длину дуги окружности радиуса , записав её уравнение в полярных координатах (рис 11)

Решение. Напомним, что уравнение

окружности радиуса с центром в начале координат имеет вид . Примем во внимание связь между декартовыми и полярными координатами:

(здесь предполагается, что начало декартовых координат совпадает с полюсом , а ось совпадает с полярной осью).

Тогда очевидно, что уравнение окружности в полярных координатах: , причём, когда , текущая точка обегает контур окружности один раз против часовой стрелки.

Имеем , тогда , следовательно .

Итак, мы получили всем известную формулу для вычисления длины дуги окружности радиуса : .

3. Вычисление площади поверхности тела вращения

Р ассмотрим на плоскости некоторую кривую , заданную уравнением . Пусть функция и производная непрерывны на . От вращения кривой вокруг оси получается тело вращения, ограниченное поверхностью вращения. По определению будем считать площадью поверхности вращения площадь поверхности, которая получается от вращения ломаной линии , вписанной в кривую (рис 12) при условии, что число точек дробления бесконечно возрастает, а ранг дробления при этом стремится к нулю.

От вращения хорды получим усечённый конус, боковая поверхность которого

,

где .

Площадь поверхности вращения таким образом приблизительно равна

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, получим точное равенство

П ример 7. Кривая вращается вокруг оси , найти площадь поверхности, ограниченной плоскостью и получившейся поверхностью вращения.

Р

рис 13

ешение. Очевидно, что кривая представляет собою прямую линию, которая пересекается с координатными осями и в точках и , а интересующее нас тело есть конус (рис 12). Воспользуемся выведенной выше формулой, заменив в ней естественным образом переменную на переменную .

Получим

.

Подставим сюда , тогда будет

,

что легко проверить, вычислив площадь боковой поверхности конуса

Итак кв.ед..

4. Вычисление объёмов

Р

рис 14

ассмотрим некоторое тело, вытянутое вдоль оси и допустим, что мы знаем площадь сечения этого тела любой плоскостью . Обозначим площадь этого сечения через . Разобьём отрезок произвольным образом на частей точками

.

На каждом частичном участке возьмём произвольную точку . Площадь этого сечения . Элементарный объём , тогда очевидно, что объём рассматриваемого тела

.

В частности, отсюда нетрудно получить формулу объёма тела вращения, которая получается от вращения вокруг оси ( предполагается непрерывной на промежутке ). Действительно, в этом случае площадь сечения представляет собою круг радиуса , следовательно площадь сечения равна . А тогда объём тела вращения

Пример 8. Найти объём шара радиуса .

Решение. На шар будем смотреть как на тело вращения. Здесь . Тогда

.

Получим известную формулу для объёма шара радиуса :

куб.ед..

§4. Общая схема применения определённого интеграла

1. Методика применения определённого интеграла к решению практических задач.

Выше мы рассмотрели различные случаи применения определённого интеграла для решения геометрических задач. Но область применения определённого интеграла очень обширна и независимо от конкретного содержания задачи приходится действовать по вполне определённой схеме.

Пусть требуется определить некоторую постоянную величину , связанную промежутком . Эту величину мы будем предполагать аддитивной, т.е. такой, что разложение отрезка точкой на части и влечёт за собой разложение на соответствующие части величины , причём значение величины , соответствующее всему отрезку , равно сумме её значений, соответствующих отрезкам и .

Переходя к решению задачи по определению величины , разложим отрезок при помощи точек

на частей

- длина -го частичного промежутка, - ранг дробления. В соответствии с разложением промежутка величина разложится на слагаемых :

.

Допустим теперь, что существует такая функция , что "элементарное" слагаемое , соответствующее промежутку длины , приближенно может быть записано в виде

,

где лежит между и , причём ошибка этого равенства при бесконечно малом ранге дробления будет бесконечно малой, порядка высшего, чем , т.е.

.

В этом случае для получается приближённое выражение

,

тем более точно, чем меньше . Стало быть, точное значение будет служить пределом суммы при , или, что то же самое,

(1)

На практике это рассуждение облекают в более краткую форму, говоря, что если элемент величины , отвечающий элементарному отрезку , представим в виде

,

т.е.

,

то равенство (1) верно.