3.1.2. Переходная и импульсная характеристики электрических цепей 2-го порядка

Р ассмотрим RLC-цепь, представленную на рис. 3.6 в виде четырехполюсника. Используя законы Кирхгофа и уравнения элементов цепи (i_R = i_L = i_C; u_R + u_L + u_C = e(t); u_R = Ri_R; u_L = Ldi_L/dt; i_C = Cdu_C/dt), составляем систему уравнений этой цепи:

. (3.15)

Продифференцировав второе уравнение, из первого получим дифференциальное уравнение цепи относительно выходного напряжения:

. (3.16)

Пусть e(t) = E₀·1(t), тогда переходную характеристику h(t) = u_C(t) находим как решение дифференциального уравнения (3.17) при нулевых начальных условиях (3.18) и E₀ = 1:

(3.17)

(3.18)

Решение неоднородного уравнения (3.17) найдем в виде суммы свободной и принужденной составляющих (см. разделы 1 и 2):

. (3.19)

Из начальных условий имеем:

где p₁, p₂ – корни (2.7) характеристического уравнения цепи (2.6); .

Тогда решение дифференциального уравнения (3.17), удовлетворяющее начальным условиям (3.18), можно записать в виде

или (3.20)

. (3.21)

Характер переходной характеристики рассматриваемого четырехполюсника определяется добротностью цепи Q = ρ/R = ω₀/2δ и имеет апериодический (Q < 0,5) или колебательный (Q > 0,5) вид.

Графики переходной характеристики показаны на рис. 3.7.

И мпульсную характеристику цепи найдем как производную от переходной характеристики (3.21):

(3.22)

Подставляя в (3.22) значения p₁ и p₂, получаем

.

При вещественных различных корнях p₁ и p₂ (Q<0,5) импульсная характеристика содержит два экспоненциальных члена (3.24), а при комплексно-сопряженных корнях (2.12) (Q>0,5) импульсная характеристика имеет вид

. (3.23)

Графики импульсной характеристики показаны на рис. 3.8.

3.2. Подготовка к работе

Изучить материал рассматриваемой темы, используя конспект лекций, методические указания к лабораторной работе и раздел 6.6 учебника [1]. Проверить степень усвоения материала, ответив на контрольные вопросы.

Используя исходные данные, приведенные в табл. 2.1 (лабораторная работа № 6), рассчитать характеристическое сопротивление ρ и резонансную частоту ω₀ RLC-контура (рис. 3.6). Рассчитать сопротивление контура R, коэффициент затухания δ и корни характеристического уравнения p_1,2 при добротности Q, равной 0,4, 10 и 150. Рассчитать ω_св при Q = 150. Записать выражения для импульсной характеристики g(t) при Q, равной 0,4 и 150.

Контрольные вопросы

1. Какая электрическая цепь называется четырехполюсником?

2. Дайте определение единичной функции и δ-функции.

3. Что называется переходной (импульсной) характеристикой?

4. Как связана импульсная характеристика с комплексной частотной характеристикой (частотным коэффициентом передачи)?

5. Как связаны между собой импульсная и переходная характеристики?

6. Как записываются переходная и импульсная характеристики интегрирующей (дифференцирующей) цепи?

7. Как зависит переходная (импульсная) характеристика последовательного контура от добротности Q?