Содержание отчета

В отчете о лабораторной работе должны быть представлены:

- принципиальные схемы исследуемых схем и расчет заданных параметров ЭЦ;

- результаты моделирования ЭЦ с анализом полученных результатов по каждому пункту проведенных исследований.

3. Лабораторная работа № 7

Импульсные и переходные характеристики пассивных четырехполюсников

3.1. Основные сведения

Понятия переходной и импульсной характеристик тесно связаны с представлением электрической цепи как четырехполюсника. Ч етырехполюсником (ЧП) называют электрическую цепь, имеющую две пары полюсов (зажимов, служащих для подключения к другим цепям). Графически ЧП изображают (если неизвестна его внутренняя структура) в виде прямоугольника с двумя парами полюсов (рис. 3.1). Левую пару полюсов, как правило, используют для подключения источника энергии (источника сигнала) и называют входом ЧП, а к правой паре полюсов (называемой выходом ЧП) подключают нагрузку. Понятие «четырехполюсника» широко используется при анализе передаточных свойств и синтезе электрических фильтров, усилителей, а также любых линейных систем (по принципу «черного ящика»). При анализе характеристик ЧП во временной области в качестве независимого источника e(t) используют источники, описываемые специальными функциями: единичная функция (или функция Хевисайда) и δ-функция (или функция Дирака).

Функция Хевисайда (график функции приведен на рис. 3.2, а) описывается выражением

или (3.1)

Используя выражение (3.1), можно получить математическое описание прямоугольного импульса (рис. 3.2, б) – сигнала, часто используемого в качестве входного воздействия при анализе ЭЦ:

, (3.2)

где A – амплитуда, а t_и – длительность импульса.

Пусть функция f_tи(t) = [1(t) – 1(t-t_и)]/t_и описывает прямоугольный импульс, амплитуда которого равна A = 1/t_и, а длительность – t_и (рис. 3.2, в). Очевидно, что площадь под этим импульсом всегда равна единице при любой длительности импульса. Предел последовательности функций f_tи(t) при t_и→ 0 носит название δ-функции:

. (3.3)

Функция Дирака равна нулю для всех значений аргумента а при является бесконечно большой:

или (3.4)

Другое условие, определяющее δ-функцию, состоит в том, что

, (3.5)

т.е. площадь под δ-функцией равна единице.

Функция Дирака обладает еще одним важным, так называемым фильтрующем свойством:

, (3.6)

где φ(t) – произвольная гладкая функция.

Переходной характеристикой h(t) цепи называют отклик цепи (при нулевых начальных условиях) на воздействие в виде единичной функции. Переходную характеристику цепи можно рассматривать как частный случай переходного процесса в цепи при скачкообразном изменении параметра (амплитуды) источника сигнала.

Импульсной характеристикой g(t) цепи называют ее отклик на воздействие в виде δ-функции.

3.1.1. Переходная и импульсная характеристика электрических цепей 1-го порядка

Пусть в RC-цепи имеется внешний независимый источник напряжения e(t). Используя уравнения элементов цепи (1.2) и законы Кирхгофа, получаем дифференциальное уравнение цепи (рис. 3.3, а)

. (3.7)

С читая, что выходное напряжение U_вых снимается с емкости (рис. 3.3, а), найдем напряжение u_C(t). Решая уравнение (3.7) методом интегрирующего множителя, получаем

, (3.8)

где τ = RC – постоянная времени RC-цепи.

Выражение (3.8) содержит две составляющие: первая составляющая определяет процесс разряда емкости от начального напряжения U₀, т.е. является свободной составляющей, вторая (вынужденная) составляющая не зависит от начальной зарядки емкости и определяется только источником e(t). В дальнейшем будем считать, что U₀ = 0, тогда

. (3.9)

Если обозначить функцию , то (3.9) можно записать в виде

. (3.10)

Интеграл вида (3.10) называется интегралом свертки функций e(t) и g(t), а функция g(t), определяемая только параметрами и видом цепи, является импульсной характеристикой цепи (рис. 3.3, а). В самом деле, если на входе данной цепи действует независимый источник e(t) = δ(t), то в силу фильтрующих свойств δ-функции (3.6) из (3.10) следует u_C(t) = g(t), т.е. реакция цепи на δ-функцию есть функция g(t), которая по определению и является импульсной характеристикой цепи.

Из (3.9) найдем выходное напряжение цепи (рис. 3.3, а), если на ее входе действует единичная функция e(t) = 1(t):

. (3.11)

По определению отклик цепи на единичную функцию 1(t) является переходной характеристикой цепи, т.е. для электрической цепи (3.3, а)

. (3.12)

Из (3.10) и (3.11) следует, что . Сделав замену переменных t - t’ = x, получим , т.е. переходная характеристика цепи есть интеграл от ее импульсной характеристики, и наоборот, импульсная характеристика есть производная от переходной характеристики: .

Частотный коэффициент передачи K(jω) цепи и импульсная характеристика g(t) связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье. Следовательно, зная импульсную характеристику, можно найти K(jω) и, если известна передаточная функция K(jω), можно определить импульсную характеристику цепи:

, . (3.13)

Эпюры импульсной g(t) и переходной h(t) характеристик рассматриваемой ЭЦ, а также амплитудно-частотная характеристика цепи (модуль частотного коэффициента передачи) представлены на рис. 3.4. Из рис. 3.4, б видно, что интегрирующую RC-цепочку в частотной области можно характеризовать как фильтр нижних частот, причем граничная частота пропускания по уровню 0,707 f_г = 1/τ.

Дифференцирующая RС-цепь, представленная на рис. 3.3, б, является фильтром верхних частот с граничной частотой пропускания f_г = 1/τ. Чтобы найти переходную характеристику дифференцирующей RC-цепочки, определим ток, протекающий в цепи при e(t) = 1(t): . Учитывая, что U_вых = u_R(t), получаем:

и . (3.14)

И мпульсная и переходная характеристики LR-цепи (рис. 3.5) аналогичны рассмотренным выше характеристикам RC-цепи. Интегрирующая LR-цепь (рис. 3.5, а) является фильтром нижних частот, а дифференцирующая LR-цепь (рис. 3.5, б) – фильтром верхних частот. Постоянная времени LR-цепи равна τ = L/R.