Содержание отчета

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

• принципиальную схему и подробный расчет заданной ЭЦ с эквивалентными схемами для каждого этапа коммутации;

• по каждому пункту выполненных исследований приводятся электрические схемы, результаты моделирования ЭЦ с анализом полученных результатов.

2. Лабораторная работа № 6

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1. Основные сведения

Электрическая цепь второго порядка содержит два реактивных элемента разных типов – L и C. Помимо реактивных элементов ЭЦ, как правило, содержит один или несколько резистивных элементов. При последовательном соединении элементов L и C образуется последовательный контур или последовательная RLC-цепь (рис. 2.1), а при параллельном соединении элементов цепи L и C – параллельный контур или параллельная RLC-цепь (рис. 2.2). На рис. 2.1 последовательный контур подключен к источнику напряжения с внутренним сопротивлением R_i, а на рис. 2.2 параллельный контур подключен к источнику тока с внутренней проводимостью G_i = 1/R_i.

2 .1.1. Последовательный контур

При расчете переходных процессов в ЭЦ второго порядка будем руководствоваться классическим методом анализа. В ЭЦ (рис. 2.1) независимые начальные условия равны

. (2.1)

Используя второй закон Кирхгофа, составим уравнение энергетического равновесия цепи после коммутации (t ≥ 0):

или . (2.2)

Дифференцируя (2.2), получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации:

. (2.3)

Дифференциальное уравнение (2.3) является однородным, поэтому для определения единственного решения этого уравнения достаточно найти начальные значения тока цепи и его первой производной. Поскольку значение тока цепи до коммутации совпадает с начальным значением тока индуктивности, а u_C(0₊) = E, то с учетом (2.2) получаем:

; . (2.4)

Так как установившееся значение тока i после коммутации равно нулю, то ток цепи после коммутации содержит только свободную составляющую, которую для ЭЦ второго порядка можно представить в виде суммы двух слагаемых:

. (2.5)

Используя (2.3), получаем характеристическое уравнение цепи

, (2.6)

которое имеет два корня:

, (2.7)

где - коэффициент затухания, а - резонансная частота цепи.

Коэффициент затухания цепи связан с добротностью контура следующим выражением:

, (2.8)

т.е. чем выше добротность контура, тем меньше коэффициент затухания электрической цепи.

Для определения постоянных интегрирования A₁ и A₂ используем начальные условия (2.4) и после подстановки их в (2.5) и его производную получим

(2.9)

откуда

. (2.10)

В зависимости от добротности контура корни характеристического уравнения (2.6) могут быть вещественными различными, комплексно-сопряженными или вещественными одинаковыми (кратными). Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Вещественные различные корни. При добротности Q < 1/2 (т.е. R > 2ρ и δ > ω₀) характеристическое уравнение имеет два различных вещественных отрицательных корня, а выражение для тока цепи после коммутации (2.5) с учетом (2.7) и (2.10) преобразуется к виду, содержащему два экспоненциальных члена:

. (2.11)

Переходный процесс в цепи носит апериодический характер, причем вследствие того, что , вторая экспоненциальная составляющая тока цепи затухает быстрее, чем первая (рис. 2.3, а). Знак минус (-I₀) в выражении (2.11) означает, что ток i во время переходного процесса течет через сопротивление R справа налево (рис. 2.1).

2. Комплексно-сопряженные корни. При большой добротности (Q > 1/2, т.е. R < 2ρ и δ < ω₀) характеристическое уравнение (2.6) имеет два комплексно-сопряженных корня:

, (2.12)

где - частота свободных колебаний в цепи (ω_св < ω₀).

Подставив (2.12) в выражения (2.10), найдем постоянные интегрирования A₁ и A₂:

. (2.13)

Тогда с учетом (2.12) и (2.13) выражение (2.5) для тока в цепи после коммутации преобразуется к виду

, (2.14)

где - амплитуда квазигармонической функции, уменьшающейся во времени по экспоненциальному закону.

Таким образом, переходный процесс в высокодобротном последовательном контуре представляет собой затухающую гармоническую функцию (рис. 2.3, б), огибающие которой (кривые ±I_m) стремятся к нулю. При t = τ = 1/δ ордината огибающей тока уменьшается в е раз. Величина τ = 1/δ = 2L/R = 2Q/ω₀ называется постоянной времени последовательной RLC-цепи, которая тем больше, чем больше добротность контура.

Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении. Частота свободных колебаний ω_св всегда меньше резонансной частоты контура ω₀. При уменьшении потерь в контуре (т.е. при увеличении добротности) уменьшается и различие между ω_св и ω₀. В пределе, при δ = 0 (т.е. при R = 0), частота свободных колебаний совпадает с резонансной частотой цепи, а колебательные процессы в цепи носят незатухающий характер (рис. 2.3, в).

3. Кратные корни. При Q = 1/2 (т.е. при R = 2ρ и δ = ω₀) характеристическое уравнение (2.6) имеет два одинаковых вещественных корня p₁ = p₂ = - δ. В этом случае общее решение дифференциального уравнения (2.3) имеет вид

. (2.15)

Используя начальные условия (2.4), определяем постоянные интегрирования A₁ = 0, A₂ = E/L и, подставляя их в выражение (2.15), окончательно получаем

. (2.16)

Таким образом, переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет апериодический характер (рис. 2.3, г), а условие Q = 1/2 является предельным условием существования в цепи апериодических свободных процессов. Режим работы цепи на границе между колебательным и апериодическим переходными процессами называется критическим.

Для определения напряжений на элементах цепи во время переходного процесса можно воспользоваться формулами (1.2).