6 Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции

Определение Функция называется возрастающей в интервале , если для любых двух точек и , из указанного интервала таких, что выполняется неравенство

Определение Функция называется убывающей в интервале , если для любых двух точек и , из указанного интервала таких, что выполняется неравенство

Достаточные признаки возрастания и убывания функции

1⁰ Если для любого , то функция возрастает в интервале .

2⁰ Если для любого , то функция убывает в интервале .

Точки, которые разделяют промежутки монотонности функции, называются точками экстремума функции.

Различают точки максимума и точки минимума функции.

Определение Точка называется точкой максимума функции , если есть наибольшее значение функции в некоторой окрестности точки

Определение Точка называется точкой минимума функции , если есть наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки

Необходимое условие экстремума

Если функция в точке имеет экстремум, то или не существует.

Точка , в которой или не существует называется критической (стационарной) точкой.

Замечание Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточные условия экстремума

1⁰ Если – критическая точка функции и при переходе через производная меняет знак с + на –, то функция в точке имеет максимум, если же с – на +, то функция в точке имеет минимум.

2⁰ Если при переходе через точку производная не меняет знак, то функция в точке экстремума не имеет.

Алгоритм исследования функции на монотонность, точки экстремума

1⁰ Вычисляем

2⁰ Находим критические точки функции . Приравниваем производную к нулю: , и находим все действительные корни полученного уравнения: и точки, в которых производная не существует

3⁰ Отмечаем критические точки на числовой прямой

4⁰ Определяем знак производной на каждом из полученных интервалов (непосредственной подстановкой произвольного значения из каждого интервала в найденную производную). Делаем вывод о поведении функции, используя признаки монотонности

5⁰ Устанавливаем точки максимума и минимума функции, используя достаточные условия экстремума. Находим максимальные и минимальные значения функции в найденных точках

Исследовать функции на монотонность. Найти максимальные и минимальные значения функции.

6.1

 1⁰

2⁰

3⁰

4⁰ Так как функция нечетная (3.1), то знак производной достаточно исследовать на интервалах от 0 до и воспользоваться свойствами нечетной функции.

На интервале , возьмем любое , например , и подставим в производную Получили , следовательно функция возрастает на интервале

Условные обозначения: - возрастает, - убывает.

Аналогично установим:

– возрастает,

– убывает.

Схематично покажем на числовой прямой (п. 3⁰ ).

5⁰ Замечаем, что при переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+». Это означает, что в точке функция имеет минимум (на основании достаточного условия существования экстремума).

Найдем . Значит, точка минимума .

Аналогично устанавливаем, в точке функция имеет максимум, .

Значит, точка максимума

6.2

 1⁰ .

2⁰

3⁰

4⁰ Исследуем знак производной на каждом из полученных интервалов и схематично изобразим на рисунке (3⁰).

5⁰ В точке функция имеет минимум,

. Точка минимума

6.3

 1⁰ ,

2⁰ следовательно точек, в которых не существует. Найдем точки, в которых .

3⁰

4⁰ Устанавливаем знак производной на каждом из полученных интервалов.

5⁰ Замечаем, что на всей области определения производная функции положительная, значит она возрастает на всей области определения. Точек экстремума не имеет.