П. Метод наименьших квадратов

Пусть заведомо известно, что y линейно зависит от x:

. (2.15)

Однако неизвестны значения констант и , а экспериментальные точки не укладываются на прямую вследствие экспериментальных погрешностей (рис. 2.4). В этом случае надо найти такие значения и , при которых минимальна сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от значений , даваемых формулой (2.15) при соответствующих экспериментальных ,

. (2.16)

Необходимое условие экстремума функции

. (2.17)

Вычислим первый дифференциал:

. (2.18)

Рис. 2.4. Экспериментальные точки и прямая, заданная уравнением регрессии .

Условие (2.18) будет выполнено, если обе частные производные будут равны нулю. Отсюда получается система двух уравнений

(2.19)

с двумя неизвестными и . Систему (2.19) можно преобразовать к следующему виду:

(2.20)

Система (2.20) имеет решение

, (2.21)

. (2.22)

Докажем, что при найденных значениях и реализуется минимум. Для этого достаточно доказать положительную определенность второго дифференциала при этих значениях и . Ищем второй дифференциал:

Второй дифференциал есть квадратичная форма переменных и ; матрица этой квадратичной формы

.

Согласно критерию Сильвестра для положительной определенности требуется выполнение двух неравенств

, .

Первое неравенство, очевидно, выполняется при любых значениях . Докажем, что второе неравенство выполняется, если не все имеют одинаковые значения (в реальных экспериментах все значения имеют разные значения). Если ввести в рассмотрение в n-мерном евклидовом пространстве вектор , все координаты которого равны единице, и вектор , координаты которого равны , то можно выразить через скалярные произведения этих векторов:

где и – символы скалярного произведения двух векторов и нормы (длины) вектора соответственно, и – единичные векторы, направленные вдоль векторов и соответственно, . Поскольку и – единичные векторы, то неравенство выполняется при любых . Если все значения одинаковы, то единичные векторы линейно зависимы: и, следовательно, ; причем , если равны какому-либо положительному числу, и , если равны какому-либо отрицательному числу. В этом случае . При различающихся значениях единичные векторы линейно независимы и выполняется строгое неравенство . В этом случае .

Таким образом, при и , даваемых формулами (2.21) и (2.22) сумма квадратов отклонений минимальна.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение собственным и примесным полупроводникам.

2. Что такое ширина запрещенной зоны и энергия ионизации примесей?

3. Перечислите энергетические переходы электронов и укажите, какие носители заряда рождаются при каждом переходе.

4. В чем состоит сущность компенсационного метода измерения напряжения?

5. Что было бы, если бы в данной лабораторной работе сопротивление полупроводника измерялось омметром, а затем по измеренному сопротивлению вычислялась бы проводимость?