1.2. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества
Мощность (кардинальное число) множества - такое свойство множества, которое остается после абстрагирования от качества (состава) его элементов (определение мощности по Кантору). Мощность множества А обозначается | А | или gard A.
Любые два множества А и В называются равномощными (эквивалентными), если между их элементами может быть установлено взаимно однозначное соответствие, т.е. существует взаимно однозначная функция f: A → B с областью определения А и множеством (областью) значений В. Таким образом, можно сказать, что мощность – это то общее, что есть у всех эквивалентных множеств. Понятие мощности введено Кантором для количественного сравнения различных множеств. С точки зрения правил сравнения (выявления общего), все множества делятся на конечные и бесконечные. В свою очередь бесконечные множества делятся на счетные и континуальные .
Конечное множество – множество, содержащее конечное число элементов; мощность n-элементного множества А равна числу его элементов, т.е. | А | = n; множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается ; пустое множество является подмножеством любого множества и имеет нулевую мощность (| | = 0). Из определения конечного множества следует – любые два конечные множества с одинаковым (равным) числом элементов эквивалентны (между ними легко установить взаимно однозначное соответствие – для этого достаточно, например, ввести нумерацию элементов).
Одна из особенностей конечного множества заключается в том, что его всегда можно задать путем перечисления элементов. Ясно, что это не всегда удобно (когда число элементов велико), но довольно часто другие способы просто неприемлемы. Последнее относится, например, к ситуации, когда нужно описать подмножество студентов, объединенных в определенную группу (поток). Очевидно, в этом случае придумать какое-то свойство или порождающую функцию, позволяющие однозначно выделить группу студентов из всего множества студентов вуза (факультета), практически невозможно (да в этом и нет необходимости – достаточно составить список студентов).
Бесконечное множество - всякое множество А, имеющее правильную часть В, равномощную всему ( целому ) множеству А , т. е. В А и |В| = |А|. Так, например, множество М квадратов натуральных чисел является правильной частью всего множества N натуральных чисел (взаимно однозначное соответствие между этими множествами очевидно); следовательно, оба эти множества обладают одинаковой мощностью и подпадают под определение бесконечных множеств. В то же время это определение не подходит к конечным множествам, так как мощность (число элементов) правильной части любого конечного множества всегда меньше мощности полного множества.
Счетное
множество
- любое бесконечное множество,
равномощное множеству N
натуральных
чисел.
Мощность счетного множества принято
обозначать
(алеф
- нуль).
Отличительная
особенность счетного множества – все
его элементы могут быть пронумерованы.
И хотя любое конечное множество также
обладает этой особенностью, оно, по
определению, к счетным множествам не
относится. Примеры часто встречающихся
счетных множеств: любые бесконечные
подмножества множества N
натуральных чисел;
множества
целых и рациональных чисел и их
бесконечные подмножества (одним из
таких подмножеств является, в частности,
множество N
);
множества, составленные из элементов бесконечных числовых последовательностей как функций натурального аргумента (если эти множества после исключения одинаковых элементов не трансформируются в конечные ).
Замечание. С возможностью нумерации элементов счетного множества связан тот факт, что довольно часто такого рода множества описываются посредством перечисления элементов. Это характерно, например, при задании (описании) бесконечных числовых последовательностей и рядов, когда по записанным нескольким первым членам последовательности (ряда) видна закономерность их изменения и, как следствие, запись последующих членов с помощью выявленной закономерности не вызывает затруднений. Простейшей иллюстрацией к вышесказанному могут служить применяемые на практике описания множеств натуральных и целых чисел, а именно:
N = { 1, 2, 3, 4,…}; Z = { 0, ±1, ±2, ±3,…}; Z= {…-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,…}.
Континуальное множество - любое бесконечное множество, равномощное множеству R действительных чисел. Говорят, что всякое континуальное множество имеет мощность континуума. Такой мощностью обладают, например:
множество всех подмножеств всякого счетного множества;
множество точек, принадлежащих некоторой прямой или поверхности;
множество всех действительных чисел некоторого интервала ( a,b ) или отрезка [ a,b ] (см. пример 1.2).
В отличие от счетного множества, элементы континуального множества не могут быть пронумерованы, т.е. множество-континуум несчетно. Справедливость данного утверждения подтверждается теоремой Кантора, одно из доказательств которой представлено ниже.
Теорема Кантора. Множество действительных чисел отрезка [0,1] несчетно.
→ Докажем теорему методом от противного. Для этого предположим, что множество счетно, т.е. может быть пронумеровано. Расположим все числа, изображенные бесконечными десятичными дробями, в порядке их нумерации:
Рассмотрим
любую бесконечную дробь
,
у которой
.
Эта дробь не может войти в указанную
последовательность, так как от первого
числа она отличается первой цифрой,
от второго - второй цифрой и т.д.
Геометрическая интерпретация множеств. Для геометрического (графического) изображения множеств и их свойств (связей между ними) довольно часто используются так называемые диаграммы Эйлера-Венна, представляющие собой в общем случае некоторый прямоугольник на плоскости и вложенные в него круги.
Так, если в рамках конкретно решаемой задачи рассматривается некая система S = {A,B,C,…,G} частных множеств, то кругами (круги Эйлера), находящимися внутри прямоугольника, изображаются любые множества из S, а прямоугольником - некоторое фиксированное универсальное множество (множество-универсум) U, включающее в себя в качестве подмножеств всю систему S частных множеств, т.е.
М S : M U. При этом каждое множество мыслится как множество точек, принадлежащих изображающему его кругу Эйлера.
Замечание. Ясно, что множество-универсум U должно быть либо задано, либо очевидно из контекста задачи. Так, для S = { A, B, С }, где
A = { a,b,c }, B = { b,с,d,e}, C = { f, g },
в качестве универсального множества можно использовать как весь латинский алфавит, так и множество U = {a,b,c,d,e,f,g}. Круги, иллюстрирующие множества А и В на рисунке, пересекаются, так как эти множества имеют общие элементы.
U
U
Геометрическая иллюстрация множеств