Прямое (декартово) произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением множеств А и В называется множество всех пар (а,b), таких, что аА и bВ.

Прямое произведение множеств А и В обозначается в виде АВ:

АВ={(a,b)aA и bB}.

Пример 11.

А={a,b,c}; B={b,c}.

AB={(a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,b), (c,c)};

BA={(b,a}, (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}.

Замечание. Из рассмотренного примера видно, что АВВА, т.е. коммутативный закон для прямого произведения множеств не действует.

Пример 12.

Х – множество точек отрезка [0;1];

Y – множество точек отрезка [1;2]/

Тогда ХY – множество точек квадрата с вершинами в точках (0,1), (0,2), (1,1), (1,2).

Декартова степень множества

Прямое (декартово) произведение одинаковых множеств называется декартовой степенью множества:

если В=А, то АВ=АА=А².

Точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат, т.е. двумя точками на координатных осях. Так как координаты представляются множеством действительных чисел R, то прямое произведение RR=R² представляет собой множество координат точек плоскости.

З амечание. Метод координат ввел в употребление Рене Декарт, отсюда и название «декартово произведение».

Прямым (декартовым) произведением множеств А₁, А₂, …, А_n называется совокупность всех упорядоченных n-ок (векторов длиной n) (a₁, a₂, …, a_n) таких, что

a_iAi (i=1,2,…,n). В случае, если А₁=А₂=…=А_n=А, то А₁А₂…А_n = Аⁿ - n-ая декартова степень множества А.

Пример 13.

Х – множество точек отрезка [0;1];

Y – множество точек отрезка [1;2];

Z – множество точек отрезка [0;0,5].

XYZ – множество точек пространства, ограниченного параллелепипедом.

Замечание. Декартово произведение RRR= R³ представляет собой множество координат точек пространства. Рене Декарт (1596-1650)

французский философ и математик

Мощность прямого произведения множеств

Теорема. Пусть А₁, А₂, …, А_n – конечные множества мощностью m₁, m₂, …, m_n. соответственно, т.е. А₁=m₁,A₂=m₂, …,A_n=m_n.. Тогда мощность их прямого произведения равна произведению мощностей множеств – сомножителей, т.е.

А₁А₂…А_n=m₁*m₂*…*m_n

Следствие: Мощность n-ой декартовой степени множества А равна n-ой степени мощности этого множества Аⁿ=Aⁿ

Основные тождества для операции прямого произведения множеств

1. АВ  BA – некоммутативность;

2. А(ВC) = (АB)C = АB C – ассоциативность слева и справа;

3. А(ВC) = (АВ)(АC) – дистрибутивность по объединению слева;

4. (АВ)C = (АC)(BC) – дистрибутивность по объединению справа;

5. А(ВC) = (АВ)(АC) – дистрибутивность по пересечению слева;

6. (АВ)C = (АC)(BC) – дистрибутивность по пересечению справа;

7. А(В \ C) = (АB) \ (AC) – дистрибутивность по разности слева;

8. (А \ В)C = (АC) \ (BC) – дистрибутивность по разности справа;

9. (АВ)(СD) = (АС)(ВD).