3.2. Система дифференциальных уравнений потока жидкости

Закон сохранения энергии для движущейся среды. Уравнение энергии

Первое начало термодинамики для элементарного объема движущейся среды можно записать в виде:

, (3.5)

где - количество теплоты единицы объема в единицу времени, ; - работа, совершаемая внешними силами над единицей объема среды в единицу времени, ; - время, с; - плотность среды, ; - удельная внутренняя энергия, ; - скорость движения среды, .

Уравнение теплового баланса выделенного элемента конечного объема , ограниченно поверхностью запишется в виде:

, (3.6)

здесь - количество теплоты единицы объема, ; - поток теплоты, проходящий через поверхность, ; - интенсивность внутренних источников теплоты (таких, как объемные химические реакции, радиоактивный распад, работа трения и т.д.), .

Используя положение Гаусса-Остроградского, определяющее переход от поверхностного интеграла к объемному интегралу можно записать:

, (3.7)

- дивергенция (расхождение) теплового потока в окрестности выделенного элементарного объема. Подставляя значение из (3.7) в (3.6) имеем:

. (3.8)

Принимая для вектора теплового потока гипотезу Фурье, имеем:

, (3.9)

где - декартовые координаты.

Если коэффициент теплопроводности и удельную теплоемкость можно принять постоянными, то уравнение (3.9) примет вид:

, (3.10)

где - субстанциональная производная;

; - направление распределения тепловых потоков по координатам. При отсутствии внутренних источников теплоты:

, (3.11)

где - температуропроводность.

Для неподвижных сред получаем дифференциальное уравнение теплопроводности (Фурье-Кирхгофа):

(3.11)

Общий вид дифференциального уравнения энергии можно получит путем сопоставления уравнений (3.6) и (3.9):

Производя замену в уравнении (3.6) и проинтегрировав по времени, получим:

(3.12)

При умеренных скоростях течения жидкости, когда работа внешних сил и кинетическая энергия потока малы по сравнению с его энтальпией, уравнение существенно упрощается:

, (3.13)

где - субстанциональная производная.

Для определения распределения температуры в потоке жидкости необходимо решить гидродинамическую задачу, то есть определить распределение скоростей в потоке жидкости.

Закон сохранения вещества для потока жидкости. Уравнение неразрывности

Одним из фундаментальных законов механики сплошных сред – закон сохранения массы любого индивидуального объема:

; (3.14)

или выражая его в дифференциальной форме, можно записать как:

; (3.15)

в прямоугольных координатах:

(3.16)

Для стационарных несжимаемых потоков , следовательно:

(3.17)

Уравнение справедливо для любой однородной сплошной среды, когда нет поглощения массы, химических реакций, внутренней диффузии и других процессов, связанных с влиянием окружающей среды.

Если в смеси происходят хим. реакции, то массы компонентов могут меняться. В этом случае уравнение неразрывности для компонента многокомпонентной смеси можно записать в виде:

или (3.18)

Здесь - изменение массы компонента смеси в единицу времени на единицу объема счет химической реакции.

В уравнение неразрывности входят три компонента скорости и одного этого уравнения не достаточно для определения скоростей в потоке жидкости.

Закон сохранения количества движения вязкой жидкости

Уравнение сохранения количества движения

Дифференциальное уравнение движение вязкой жидкости выводится на основании закона сохранения количества движения в применении к жидкости, протекающей через произвольный объем .

Скорость изменения главного вектора количества движения жидкости, находящейся в объеме , равна главному вектору массовых сил (веса) и поверхностных сил, действующих на поверхность (силы давлении и трения).

Главный вектор количества движения, находящейся в объеме определится как:

. (3.19)

Согласно закону сохранения движения:

. (3.20)

Учитывая, что , а - из уравнения неразрывности. Преобразовав интеграл по поверхности в интеграл по объему, согласно теореме Гаусса-Остроградского, имеем:

. (3.21)

Используя допущения о произвольности объема и оплошности среды, имеем:

. (3.22)

Учитывая, что получаем уравнение движения жидкости в напряжениях:

(3.23)

Это уравнение в векторной форме в проекциях декартовых координат имеет вид:

;

; (3.24)

;

Уравнения содержат 12 неизвестных: три компонента вектора скорости и девять компонентов вектора напряжения .

При движении вязкой жидкости в потоке действуют нормальное напряжение и напряжение сдвига. Нормальное напряжение обусловлено силами давления, а напряжения сдвига вызвано трением между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями.

В соответствии с гипотезой Ньютона касательное напряжение (напряжение сдвига) в плоском потоке вязкой жидкости связано с производной от скорости по нормали к направлению потока простым соотношением:

(3.25)

- коэффициент динамической вязкости, . .

- кинематическая вязкость, .

Если считать течение изотермическим и несжимаемым ( ; ) то общая запись уравнения примет вид:

(3.26)

В проекции по координатам имеем:

(3.27)

Таким образом, уравнение неразрывности и три уравнения движения в проекции на оси являются замкнутой системой уравнений, содержащей четыре неизвестных .

В том случае, когда плотность жидкости переменна и зависит от температуры, к уравнениям добавляется уравнение энергии и состояния, которые составляют замкнутую систему из шести уравнений с шестью неизвестными.

Уравнение состояния идеальных и реальных жидкостей

Простейшей механической моделью сплошной среды является модель идеальной жидкости, для которой характерно отсутствие сопротивлений (сил трения) при скольжении одного слоя жидкости по другому. Отдельные части взаимодействуют только в виде нормального давления, т. е. в любой точке идеальной жидкости касательные напряжения равны нулю.

Уравнением состояния для этой жидкости служат зависимости плотности от давления и температуры:

. (3.28)

Для идеальных газов применимо уравнение Менделеева – Клайперона, вида:

. (3.29)

Для капельных жидкостей сжимаемость чрезвычайно мала и в большом диапазоне давлений принимается линейная зависимость:

. (3.30)

Здесь плотность, соответствующая давлению ; - модуль объемного сжатия жидкости. В случае необходимости учета температурных факторов (тепловое расширение) уравнение состояния можно представить в виде:

, (3.31)

здесь - коэффициент объемного расширения жидкости и перепад температур.