Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
Определение:
Пусть множество
и A – ограничено.
Рассмотрим множество
(объединение прямоугольников), такое
что
,
и множество
,
такое что
,
и назовем
и
фигурами. Площади этих фигур
и
можно
посчитать. Т.к. множество
оганичено
сверху (S(A))
.
Аналогично
ограничено снизу (нулем)
.
Если
,
то это площадь A, а
множество называется квадрируемым.
П
ример1:
Пусть τ – отрезок и
.
Ø.
При этом S(M΄)=0
и
.
Пусть длина отрезка равна d,
тогда
,
а
длины d и высоты h.
Тогда
.
Получили S(τ)=0.
П
ример2:
.
,
Ø
и
,
т.к. никакой прямоугольник полностью
не лежит в этом множестве.
,
т.е.
,
поэтому
.
Получаем, что
,
поэтому множество A
- не квадрируемое.
Пусть f(x)≥0 на [a,b]. Криволинейная трапеция T - множество (x,y), такое что a≤x≤b и 0≤y≤f(x).
Теорема: (О площади криволинейной трапеции).
Пусть
функция f(x)≥0
на [a,b].
Криволинейная трапеция T
квадрируема тогда и только тогда(),
когда функция f(x)
интегрируема на [a,b].
При этом площадь T
равна:
.
Д
оказательство:
:
По основной теореме
.
Найдутся такие
и
,
что
и
.
Тогда
.
:
,
так как криволинейная трапеция T
квадрируема. Тогда
Обе интегральные суммы стремятся к
одному и тому же числу (S).
,
.
Следовательно
,
поэтому функция f(x)
интегрируема (из следствия основной
теоремы).
Пример. x2+y2=R2.
a≤x≤b
(a=-R,
b=R),
и 0≤y≤
.
При этом
Замечание
к определению площади:
Множества
можно заменить на любые другие квадрируемые
множества. Если
- фигуры,
- квадрируемые множества, т.е. существуют
площади
и при этом
,
то при
получим все то же самое.
П
усть
множество задано в полярных координатах:
x=r·cost,
y=r·sint.
Рассмотрим множество A,
такое, что α≤t≤β
и 0≤r≤r(t).
Введем разбиение угла [α,β]:
α=t0<t1<t2<…<tn=β.
При этом Δti=[ti
,ti+1].
Рассмотрим сектора окружностей ri=mi
– это будут сектора
и ri=Mi
– это будут сектора
.
и
.
Окружности (с углом 2π) соответствует
площадь πR2,
а сектору с углом α – площадь αR2/2.
Поэтому
и
.
и
-
нижняя и верхняя суммы Дарбý для функции
f=r2/2.
Получим
и
.
То есть площадь S(A)
существует и равна S
(т.е. A квадрируема)
тогда и только тогда, когда существует
интеграл
.
Билет 49
Определение объёма. Объем тела вращения.
.Тогда пусть
,
фигуры, которые удовлетворяют условию:
;
.
Тогда
внешний объем равен:
,
а внутренний:
.
Если
,
то множество
- кубируемое.
Лемма: (объем цилиндра)
-
множество
точек плоскости, удовлетворяющих условию
и
, то
- цилиндр. Его объем равен:
.
Так как
- квадрируемое множество, то:
.
Значит
;
,
соответственно
.
Значит объем цилиндра равен
.
Теперь непосредственно рассмотрим вращение произвольное тело вращения.
Пусть
-
есть произвольная непрерывная функция,
причем
на отрезке
.
Будем вращать данную кривую на отрезке
вокруг оси
.
Получим тело вращения
.
Разобьем отрезок
:
.
Пусть
,
.
Рассмотрим два цилиндра
и
(см.
рис. )
,
.
Теперь пусть
и
.
Нетрудно видеть , что
и
.
Это означает, что если функция
интегрируема на отрезке
,
то
и
.
При вращении вокруг оси
формула примет вид
.
Пример: Рассмотрим вычисление объема тела вращения на примере шара:
.
Значит объем шара равен:
.
Билет 50