Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
Теорема 1:
Если
функции
интегрируемы на
и
Доказательство:
выполняется
неравенство
,
тогда
.
Так как интегралы по условию существуют,
по теореме о предельном переходе под
знаком неравенства,
.
Теорема доказана.
Следствие:
Если
-
интегрируема на
,
то, по доказанному выше,
- интегрируем на данном отрезке; тогда
Доказательство:
Известно
неравенство:
; по данной теореме
;
из самого правого интеграла минус можно
вынести; получим:
. Следствие доказано.
Теорема 2: (о среднем)
Пусть
интегрируемы
на
,
причем
на данном промежутке, тогда
,
где
,
и
Замечание: sup и inf существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена.
Доказательство:
Запишем
неравенство:
и домножим его на
:
;
тогда по теореме о неравенствах это
неравенство сохранится и в интегралах:
(
)
Если
,
то и интеграл
и неравенство (
)
выполняется.
Если
,
тогда по теореме о неравенствах
,
значит можно неравенство (
)
на него разделить:
и принимаем за
.
Теорема доказана.
Следствие:
Если
непрерывна
на
и выполняется условие теоремы, то
Доказательство:
Т.к.
непрерывна
на
,
то она достигает своего max
и min
значения, а в силу непрерывности sup=max,
inf=min;
значит
- по теореме о промежуточных значениях
непрерывной функции. Следствие доказано.
Следствие к следствию:
Если
непрерывна
на
,
то
Доказательство:
Возьмем
,
тогда
(по
следствию)
.
Следствие доказано.
Г
еометрический
смысл этого следствия:
Если считать
площадь криволинейной трапеции, то
найдется такая точка
,
что площадь этой криволинейной трапеции
будет равна площади прямоугольника с
высотой
.
Билет 47
Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим функцию , интегрируемую на отрезке . По аддитивному свойству интеграла:
,
можно найти отрезок
на котором представляется возможным
рассмотреть функцию
.
Теорема:
Если функция
интегрируема на отрезке
,
то
непрерывна на отрезке
.
Доказательство:
Рассмотрим функцию
,
,
где
,
,
,
где
Теорема доказана.
Теорема:
Пусть функция
интегрируема на отрезке
,
непрерывна в точке
,
тогда функция
дифференцируема в точке
и
.
Доказательство:
,
,
,
т.е.
.
Теорема доказана.
Следствие:
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то
,
т.е.
- первообразная
.
,
Функция
непрерывна в точке
,
;
,
где
непрерывна на отрезке
.
Заключаем, что
.
Т.е. любая непрерывная функция имеет первообразную.
Теорема доказана.
Формула Ньютона-Лейбница:
Функция
непрерывна на отрезке
,
тогда она имеет первообразную. Пусть
- её произвольная первообразная. Тогда
.
Доказательство:
Функция непрерывна на отрезке , - первообразная функции ,
,
,
. Теорема
доказана.