5. Несобственные интегралы
До сих пор при рассмотрении определенного интегралов считали, что промежуток интегрирования конечен и что подынтегральная функция на нем непрерывна. Определенный интеграл , где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция непрерывна на отрезке , называется еще собственным интегралом. Если хотя бы одно из условий не выполнимо, то интеграл называется несобственным. Собственный интеграл всегда имеет определенное численное значение. В отличие от этого несобственные интегралы не всегда имеют такое значение.
5.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл первого рода)
Определение 5.1. Пусть функция
непрерывна на промежутке
.
Если существует конечный предел
,
то его называют сходящимся несобственным
интегралом первого рода и обозначают
,
т.е.
.
(5.1)
Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный
интеграл на промежутке
:
.
Несобственные интегралы с двумя бесконечными пределами определяются формулой
,
где произвольное число.
Пример 5.1. Дан интеграл
.
Установить, при каких значениях
этот интеграл сходится, а при каких –
расходится.
Решение. Предположим, что
.
Тогда
.
Следовательно, если
,
то
,
т.е. данный интеграл сходится.
Если
,
то
,
т.е. интеграл расходится.
При
имеем
,
т.е. данный интеграл расходится.
Пример 5.2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
,
интеграл расходится, так как при
предел
не существует.
Замечание. При вычислении несобственных интегралов с бесконечным промежутком интегрировании часто пользуются символическим равенством
,
где
и
.
Пример 5.3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
,
т.е. данный интеграл расходится.
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет. Приведем без доказательства один из признаков сходимости.
Теорема 5.1 (признак сравнения). Если
на промежутке
непрерывные функции
и
удовлетворяют условию
,
то
1) если сходится интеграл
,
то сходится и интеграл
;
2) если расходится интеграл , то расходится и интеграл .
Пример 5.4. Доказать, что интеграл
сходится.
Доказательство. Так как
при
и интеграл
сходится, то исходный интеграл также сходится.
5.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл второго рода)
Определение 5.2. Пусть функция
непрерывна на промежутке
и имеет бесконечный разрыв при
.
Если существует конечный предел
,
где
,
то его называют сходящимся несобственным
интегралом второго рода и обозначают
,
т.е.
.
(5.2)
Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то полагают
.
Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
.
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба предела, стоящих справа существуют.
Пример 5.5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
.
Следовательно, данный интеграл расходится.
Пример 5.6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
.
Следовательно, данный интеграл сходится.