2. Интегрирование по частям

Пусть и имеют непрерывные производные на некотором промежутке . Найдем дифференциал производных этих функций: .

Так как по условию функции и непрерывны, можно проинтегрировать обе части этого равенства: , или , но , следовательно,

. (1.3)

Формула (1.3) называется формулой интегрирования по частям.

Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение представляют в виде произведения множителей и ; при этом обязательно входит в . В результате получается, что заданный интеграл находят по частям: сначала находят , а затем . Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения указанных интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла.

Пример 1. Найти .

Решение. Положим ; , тогда ; .

По формуле (1.3) находим

.

Рассмотрим некоторые конкретные способы разбиения подынтегрального выражения на множители и .

В интегралах вида , , ,

где многочлен относительно ; некоторое число, полагают , а все остальные сомножители – за .

Пример 2. Найти .

Решение. Положим ; , тогда или , т.к. . Следовательно, оставшиеся сомножители равны . Таким образом, , интегрируя последнее равенство, получим .

По формуле (1.3) находим

В интегралах вида , ,

, , полагают , а остальные сомножители – за и.

Пример 3. Найти .

Решение. Положим ; , тогда ; , откуда

Следовательно,

3. Интегрирование простейших дробей

Рациональной дробью называется функция R(х), представленная в виде

,

где Р (х) и Q (х) – многочлены с действительными коэффициентами.

Рациональная дробь R(x) называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех типов:

(n > 1 натуральное число);

(n > 1 натуральное число),

где , т. е. корни знаменателя мнимые.

Таким образом, для интегрирования правильных рациональных дробей достаточно уметь: 1) интегрировать простейшие дроби; 2) разлагать рациональные дроби на простейшие.

Пример 1. .

Решение. Заметим, что , т.к. .

Пример 2. .

Решение.

Для интегрирования простейших дробей третьего вида вычисляют, используя замену переменных , откуда ; .

Пример 3. Найти .

Решение. Сделаем замену переменных ; ; ; ; .

Заменив всюду под интегралом на , на , получим

При вычислении воспользовались формулой . Второй из полученных интегралов является табличным, а первый находим подстановкой , откуда ; ; ; . Следовательно,

Задача 1. Вычислить интегралы:

1)

Можно проверить, что интеграл найден верно. Для этого воспользуемся формулой

Ответ: .

2)

Ответ:

3)

Ответ : .

Так находятся интегралы, если есть хотя бы одна нечетная степень и В случае, если имеются только четные степени, интегралы находят с помощью понижения степени по формулам тригонометрии.

4)

Ответ:

5)

Ответ:

6)

Ответ:

7)

Ответ: 2)