4. Тригонометрическая форма комплексного числа
Каждое комплексное число , отличное от нуля, может быть записано в тригонометрической форме
.
Тригонометрическая форма записи к.ч. оказывается очень удобной при умножении, делении комплексных чисел, а также при возведении в степень и извлечении целой положительной степени к.ч.
Пусть
,
.
;
(формула
Муавра);
;
,
где
.
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей:
;
.
Модуль целой положительной степени к.ч. равен такой же степени модуля к.ч., а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени:
,
.
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент – разности аргументов делимого и делителя:
,
.
Пример.
Записать к.ч.
и
в тригонометрической форме и найти их
произведение.
Решение
Модули к.ч.
,
.
Аргумент к.ч. равен . Аргумент к.ч. найдем из равенств и :
,
,
отсюда
.
Запишем числа в тригонометрической форме:
,
.
Модуль произведения:
.
Аргумент произведения
.
.
5. Показательная форма комплексного числа
Обозначим выражение
символом
.
Тогда от тригонометрической формы к.ч.
можно перейти к показательной
форме к.ч. по
формуле:
,
где
,
.
В показательной форме удобно производить операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения целого положительного корня.
Пусть
,
,
тогда:
;
;
;
,
где
.
6*. Решение алгебраических уравнений в пространстве комплексных чисел
Рассмотрим
алгебраические уравнения степени
с комплексными коэффициентами:
.
Число
называется решением
или корнем
уравнения, если при постановке
в уравнение получается верное числовое
равенство.
Решить уравнение во множестве комплексных чисел – значит, найти все его корни.
Рассмотрим решение таких уравнений.
Уравнение первой степени
,
.
Пример. Решить
уравнение
.
Уравнение
имеет один корень
.
2. Уравнение
второй степени
,
.
Пример.
Решить уравнение
.
,
Учитывая, что , получаем два комплексных корня:
, .
Пример.
Найти корни уравнения
.
Перепишем уравнение
в удобном виде:
.
В формуле для
корней квадратного уравнения нет
символа
,
а только
,
поэтому:
.
Для определения
всех значений
положим
,
тогда
,
.
Следовательно,
и
удовлетворяют системе уравнений
причем
и
- действительные числа.
Система имеет два
действительных решения
,
и
,
.
Поэтому
и
,
.
3. Уравнение
третьей степени
,
.
В 1799 г. великим математиком Карлом Гауссом была доказана теорема (называется основной теоремой алгебры):
Каждое алгебраическое уравнение имеет во множестве комплексных чисел по крайней мере один корень.
Для уравнений третьей и четвертой степени формулы корней громоздки и ими предпочитают не пользоваться. А для уравнений степени выше четвертой подобных формул в общем случае не существует.
Для решения уравнений с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема:
Целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.
Пример.
Решить уравнение
.
Рассматривая
делители свободного члена, убеждаемся
в том, что только
является целым корнем уравнения. Делим
левую часть уравнения на
:
Поэтому
.
Решая квадратное уравнение
,
получаем все остальные корни:
,
,
.