6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)

Заменим график функции на отрезке , , , параболой, проведенной через точки , , где – середина отрезка . Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени с узлами . Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

где .

Проинтегрировав эту функцию на отрезке , получим

Суммируя полученные выражение по , получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка . Тогда для формулы Симпсона справедлива следующая оценка погрешности: , где

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т.е. , то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины рассматривать отрезок длины . Тогда формула Симпсона примет вид: , а вместо последней оценки будет справедлива следующая оценка погрешности:

Правило Рунге практической оценки погрешности.

Оценка погрешности зависит от длины элементарного отрезка , и при достаточно малом справедливо приближенное равенство: , где приближенное значение интеграла. Если уменьшить шаг в два раза, то получим: .

Вычитая одно из другого, получим: , или .

Это приближенное равенство дает оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге – это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений, проводимых с разными шагами . Для формулы Симпсона , и оценка принимает вид: . Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение . Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на .