1.7. Нахождение корней уравнения методом деления отрезка пополам

Хорошим упражнением по работе в Excel является программирование на рабочем листе алгоритма нахождения корня уравнения F(x) = 0 методом деления отрезка пополам. Пусть непрерывная функция F(x) имеет значения разных знаков на концах отрезка [а,b],т.е.F(а)*F(b) < 0, тогда уравнение F(x) = 0 имеет корень внутри этого отрезка, который назы­вается отрезком локализации корня.

Пусть с = (а + b)/2-середина отрезка [а, b]. Если F(a)*F(c) < 0, то корень находится на отрезке [а,с], который примем за новый отрезок локализации корня. Если F(a)*F(c) > 0, то за новый отрезок локализации корня возьмем [c,b]. Отметим, что новый отрезок локализации корня в два раза меньше первоначального, тогда уравнение F(x) = 0 имеет корень внутри этого отрезка, который назы­вается отрезком локализации корня.

Процесс деления отрезка локализации корня продолжаем до тех пор, пока его длина не станет меньше ε — точности нахождения корня. В этом случае любая точка отрезка локализации отличается от корня не более чем на ε/2.

Методом деления отрезка пополам найдем корни уравнения x²-2=0 с точностью до 0,001.

(Если протабулируем функцию x²-2=0 на отрезке [0;2], то можно предположить, что корень находится в интервале [1.4; 1.5], так как здесь функция меняет знак с минуса на плюс. Это же можно увидеть, построив график функции).

В ячейку Е7 введена погрешность нахождения корня равная 0,001. За первоначальный отрезок локализации корня выбран отрезок [0, 2]. В ячейки D8,E8,F8 введем заголовки – а, b,c соответственно. В ячейку G8 – текст: проверка знака. В ячейку H8 текст: значения функции в средней точке.

В ячейку D9 введем значение 0. В ячейку E9 значение 2. В ячейки F9, G9, Н9, D10, Е10 и I10 введены, соответственно, формулы

=(D9+E9)/2 т.е. (a+b)/2

=(D9^{^}2-2)*(F9^2-2) т.е. (a^2-2)*(c^2-2)

=(F9^2-2) т.е. (c^2-2)

=ЕСЛИ(G9<=0;D9;F9) т.е. если (a^2-2)*(c^2-2)<=0; D9;F9

= ЕСЛИ(G9<=0;F9;E9) т.е. если (a^2-2)*(c^2-2)<=0; F9;E9

=ЕСЛИ(Е9-D9<$Е$7;"Корень найден и равен "&ТЕКСТ(F9;"0,0000");"")

которые протаскиваем вниз по столбцам до тех пор, пока не будет найден корень. Корнем уравнения с точностью до 0,001 яв­ляется 1,414.

Функция текст (Text) преобразует число в текстовую строку по указанному формату и имеет следующий синтаксис: ТЕКСТ(значение; формат)

Аргументы:

Значение - Либо числовое значение, либо формула, вычисление которой дает числовое значение, либо ссылка на ячейку, содержащую числовое значение

Формат - Числовой формат с вкладки Число (Number) диалогового окна Фор­мат ячеек (Format Cells), открываемого командой Формат, Ячейки (Format, Cells). Формат не может содержать звездочку (*) и не может быть Общий (General). Приведем два примера работы функции текст:

ТЕКСТ(2.7153; "0,00р.") возвращает 2.72р.

ТЕКСТ(2.7153; "0,000") возвращает 2.715

Индивидуальные задания

Вариант 1

(а) Построить в разных системах координат при х[-2,2] с шагом 0,2 графики следующих функций:

Y=sin(x)e^{-2x ,} g=

Z=

(b) Построить в одной системе координат при х[-2,2] графики следующих двух функций:

y=2sin(x)Cos(x), z=3cos²(2x)sin(x)

(c) Построить поверхность z=x²-2y² при x,y [-1,1]

(d) Найти все корни уравнения x³-2,92x²+1,4355x+0,791136=0 на интервале [-1; 2.5] c шагом 0.1 методом подбора параметра и методом деления отрезка пополам