3.1.2. Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением

y=ku.

Его передаточная функция имеет вид

Примером дифференцирующего звена часто может служить тахогенератор постоянного тока. Переходная характеристика диффе­ренцирующего звена определяется выражением

и имеет вид 5 -функции (рис. 3.4).

Импульсная переходная функция (рис. 3.5) представляет собой «дуплет» δ –функций

Рассмотрим теперь частотные характеристики звена. Ампли­тудно-фазовая характеристика

совпадает с положительной мнимой полуосью комплексной плос­кости; вещественная частотная характеристика равна нулю, Л(ц>) = 0; мнимая частотная характеристика соответствует выра­жжению

т. е. представляет собой линейно нарастающую функцию. С ней совпадает амплитудная частотная характеристика, которая имеет вид

Фазовую частотную характеристику можно определить по со­отношению

Следовательно, на всех частотах имеется постоянный фазовый сдвиг.

Примером интегрирующего звена является операционный уси­литель в режиме интегрирования.

Основной динамической характеристикой звена является его дифференциальное уравнение

на основе которого можно получить передаточную функцию

Характеритическое уравнение

имеет единственный корень (полюс), р=0, который представляет собой модальную характеристику интегрирующего звена.

Переходная характеристика звена имеет вид линейно возрас­тающей функции

а импульсная переходная функция - ступенчатой функции

Выражение для амплитудно-фазовой частотной характеристики (рис. 3.7) получим, заменив в (3.12) р на jw:

Вещественная частотная характеристика отсутствует, R(w) =0. Мнимая частотная характеристика имеет вид

а амплитудная частотная характеристика

При этом фазовая частотная характеристика следующая:

т. е. звено имеет постоянный фазо­вый сдвиг, который не зависит от частоты.

Амплитудно-фазовая характери­стика интегрирующего звена имеет вид прямой, совпадающей с отрица­тельной мнимой полуосью ком­плексной плоскости (рис. 3.7).

Запишем выражение для лога­рифмической амплитудно-частот­ной характеристики

и изобразим ее график (рис.3.8)

Как видим, логарифмиче­ская амплитудная частот­ная харак-теристика интегра­тора пред-ставляет собой пря­мую с нак-лоном - 20 дБ/дек. и пересекает ось ординат в точке 20 \gk. Она показывает, что звено усиливает низко­частотные сигналы и ослаб­ляет высокочастотные.

Различного типа двигатели являются примерами такого звена. Дифференциальное уравнение апериодического звена принято записывать в стандартном виде:

и найдем передаточную функцию апериодического звена:

Для определения модальных характеристик по передаточной функции (3.20) запишем характеристическое уравнение

Оно имеет единственный корень (полюс), р = -1/Т.

Переходную характеристику звена (рис. 3.9) можно найти как решение уравнения (3.18) при и = 1(t) и у(0) = 0:

Выражение, соответствующее амплитудно-фазовой характери­стике апериодического звена, имеет вид

На комплексной плоскости по выражению (3.24) можно постро­ить амплитудно-фазовую характеристику апериодического звена, которая имеет вид полуокружности (рис. 3.15).

Нетрудно убедиться в том, что (3.32) можно представить как сумму уравнений пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Передаточную функцию форсирующего звена

где к=к₁ - коэффициент усиления, а Т = к₂/к₁ - постоянная вре­мени звена.

Передаточная функция (3.33) содержит полином в числителе, корень которого п - 1/Т называется «нулем» форсирующего звена. Его переходная характеристика определяется соотношением

Качественный вид ее приведен на рис. 3.17.

Импульсная переходная функция звена следующая:

Обобщенная частотная характе­ристика находится по передаточной функции (3.33) и имеет вид

Соответствующая амплитудно-фазовая характеристика изображена на рис. 3.18.

Вещественная частотная характери­стика звена не зависит от частоты и равна

R (w) = k, мнимая частотная характеристика представляет собой прямую

Амплитудная частотная характеристика может быть построена по выражению

а фазовая частотная характеристика определяется в виде

На основании выражения для А (∞) определим логарифмиче­скую амплитудную частотную характеристику

На основании выражения для А (со) определим логарифмиче­скую амплитудную частотную характеристику

Как и в предыдущем случае, для форсирующего звена удобнее строить не точную, а асимптотическую ЛАЧХ (рис. 3.19). Здесь ω₀ = 1/Т- собственная частота звена.

Причем се можно получить, исследуя отдельно области низких _и высоких частот или суммируя ЛАЧХ пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Нетрудно убедиться, сравнивая выражения (3.28) и (3.29) с выражениями (3.37) и (3.38), в том, что логарифмические ампли­тудная и фазовая частотные характеристики форсирующего звена представляют собой зеркальное отображение относительно оси абсцисс соответствующих логарифмических характеристик апе­риодического звена.

Дифференциальное уравнение звена второго порядка

принято записывать в стандартном виде

П

Передаточную функцию звена получим на основе символиче­ской записи дифференциального уравнения

ередаточную функцию звена получим на основе символиче­ской записи дифференциального уравнения

Для определения модальных характеристик запишем характери­стическое уравнение звена

Оно имеет два корня (полюса), которые в зависимости от коэф­фициента демпфирования d могут быть вещественными или комплексно-сопряженными, что приводит к различным переходным процессам. Рассмотрим варианты корней.

Причем колебательность переходного процесса будет тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования d. В пределе при d =0 будут иметь место незатухающие колебания. В этом случае звено называется консервативным. Соответствующие графики переход­ных процессов представлены на рис. 3.21.

Запишем выражения для вещественной частотной характе­ристики

и мнимой частотной характеристики:

На основе (3.46) и (3.47) построим АЧХ на комплексной плос кости, рассматривая характерные точки: ω = 0, ω=1/Т,... ,ω—∞. Ее вид существенно зависит от коэффициента демпфирования d (рис. 3.22).

Амплитудно-фазовая характери­стика консервативного звена (d = 0) начинается в точке к на вещественной оси и при увеличе­нии со стремится k +∞, а затем из -∞ -

к началу координат.

Амплитудная частотная харак­теристика строится на основе вы­ражения

и может иметь резонансный пик, высота которого будет тем боль­ше, чем меньше коэффициент демпфирования d.

Формула для фазовой частотной характеристики имеет вид

Построение ЛАЧХ колебательного звена (при 0 < d < 1) осуще­ствляется по соотношению, полученному из (3.48):

При значениях коэффициента демпфирования в интервале 0,3≤d≤1 можно строить упрощенную асимптотическую ЛАЧХ. рассматривая отдельно области высоких и низких частот.