Тема 3.Моделирование реологического поведения

3.1.Основные реологические модели и их механические аналоги

Вопросы

Ответы

74. Какие модели в механике сплошных сред относятся к простым реологическим моделям?

К основным простым реологическим моделям в механике сплошных сред относятся:

- твердое тело Гука с линейной связью между напряжением и деформацией;

- пластическое тело Сен-Венана, которое до определенного предела ведет себя как упругое тело Гука, а после этого предела проявляет пластическое течение;

- ньютонова жидкость.

Тела, обладающие набором свойств, например, упругопластичностью, вязкоупругостью и др., рассматриваются как комбинации этих моделей.

75. С помощью какой механической модели представляется реологическое поведение упругих твердых тел?

Аналогом простых реологических моделей могут выступать элементарные механические модели, использование которых для исследования реологических свойств реальных продуктов обеспечивает наглядность и лучшее понимание реологического поведения реального материала.

Используя элементарные механические модели можно оценить по отдельности упругие, вязкие и пластичные свойства реальных тел, а объединяя элементарные модели в единую систему, и более сложные комплексы этих свойств.

Так, упругие свойства твердых тел наглядно и просто представляются упругой пружиной растяжения или сжатия. Если закрепить один конец пружины растяжения, а к другому концу приложить растягивающую силу , то перемещение этого конца будет пропорционально приложенной силе пружины, т.е. , где - величина смещения подвижного конца пружины, - жесткость пружины.

Сравнивая это выражение с выражением закона Гука, нетрудно заметить, что - это аналог деформации, - аналог напряжения, - аналог модуля упругости при сдвиге .

76. Какая механическая модель является аналогом ньютоновой жидкости?

Механической моделью среды, свойства которой подчиняются закону Ньютона, является масляный демпфер, представляющий собой гидроцилиндр с поршнем.

Механический аналог ньютоновой жидкости

Скорость перемещения поршня, равная пропорциональна приложенной к нему силе , т.е. , где - коэффициент пропорциональности. Можно видеть, что это выражение аналогично формулировке основного закона течения ньютоновой жидкости, т.е. является аналогом скорости деформации , - аналог напряжения и аналог вязкости .

77. Какая механическая модель представляет идеально пластичное тело Сен-Венана?

Реологическая модель идеально пластичного тела Сен-Венана характеризуется тем, что деформация начинается только тогда, когда напряжение сдвига превысит предел текучести материала , после чего деформация может происходить с любой скоростью.

Ее механический аналог представляет собой две прижатые друг к другу параллельные пластинки, на которые действуют растягивающие силы . Перемещение пластинок относительно друг друга начнется в том случае, если сила превысит силу трения между пластинками, равную силе нормального давления, умноженной на коэффициент трения. Здесь сила является аналогом напряжения сдвига , а сила трения – аналогом предела текучести .

3.2.Построение и анализ двухэлементных моделей

78. Каким образом моделируется поведение реальных пищевых продуктов?

Изучение явлений, происходящих при различных режимах деформирования реальных тел, расчет динамических функций и сравнение их с результатами измерений реологических параметров, например, вязкости, предела текучести и т. д., возможно при использовании различных комбинаций соединения элементарных аналоговых механических моделей.

Существует следующие простые способы объединения двух элементарных механических моделей – последовательный и параллельный.

С помощью механических моделей можно описать поведение материала и определить значения времени запаздывания и релаксации, компоненты динамических функций как твердых и жидких тел, так и переходы от твердообразного к жидкообразному состоянию с различными упругими и вязкостными свойствами.

79. Какие механические модели представляют модели вязкоупругого и упругопластичного тела?

Соединяя последовательно упругий и вязкий элементы, получают модель вязкоупругой жидкости Максвелла. Параллельное соединение этих же элементов будет представлять модель вязкоупругого тела Фойгта . Модель упругопластического тела Сен-Венана представляется последовательным соединением упругой пружины и двух пластин

а) б) в)

Механические аналоги вязкоупругих и упругопластичных тел

а) модель Максвелла, б) модель Фойгта, в) модель Сен-Венана

80. В чем заключается сущность модели Максвелла?

Последовательное соединение пружины и демпфера представляет тело, поведение которого может быть как упругим, так и вязким, в зависимости от скорости деформации пружины. При быстром сбросе растягивающей нагрузки, поршень не успевает начать движение, и вся система будет моделировать упругое тело Гука. При растяжении пружины и выдержке ее в растянутом состоянии в течение определенного времени поршень начнет движение. Вязкая среда, в которой находится поршень, будет оказывать сопротивление его перемещению.

Общее перемещение конца пружины (если зафиксировать неподвижно цилиндр поршня) равно сумме перемещений пружины и поршня .

Производные этих перемещений будут равны соответствующим скоростям . Подставляя соответствующие значения, получим уравнение , решением которого будет временная зависимость силы: .

Значения компонент динамических функций для модели Максвелла:

Время релаксации . Время запаздывания .

Модель Максвелла моделирует течение жидкости, так как постоянно приложенная нагрузка приводит к неограниченному перемещению поршня. При этом время запаздывания модели равно нулю , поскольку пружина от приложенной нагрузки начинает растягиваться сразу.

81. В чем заключается сущность модели Фойгта?

В модели Фойгта два элемента соединены параллельно и одновременно сопротивляются движению от приложенной нагрузки. Процесс движения будет продолжаться до тех пор, пока степень растяжения пружины не будет равна силе .

Суммарная сила , где - сила, действующая на пружину, - сила, действующая на поршень. Подставив значения из элементарных моделей, получим выражение , где . Решение этого уравнения дает выражение относительно величины смещения, как функции времени , здесь значение имеет смысл времени запаздывания. Время запаздывания .

Модель Фойгта моделирует поведение твердого вязкоупругого тела. Время релаксации неограниченно велико , так как упругая пружина не релаксирует и способна выдерживать приложенную нагрузку очень долго

Значения компонент динамических функций для данной модели:

где - компоненты комплексного модуля упругости при сдвиге, - угол, определяющий возможное отставание напряжений относительно изменения деформаций, - компоненты комплексной податливости.

82. В чем заключается сущность модели Сен-Венана?

Механическая модель Сен-Венана моделирует поведение упругопластического тела. При напряжении модель поведет себя как линейное упругое тело, а при происходит пластическое течение.

3.3.Сложные механические модели.

83. Какая модель называется моделью стандартного вязкоупругого тела или модель Кельвина-Фойгта?

Присоединив к модели Фойгта еще один упругий элемент можно учесть при ползучести мгновенную деформацию. Полученная модель называется стандартным вязкоупругим телом или моделью Кельвина-Фойгта.

Механическая модель стандартного вязкоупругого тела (модель Кельвина-Фойгта)

Операторное уравнение для данной модели записывается в виде

, где - время релаксации, - суммарный модуль упругости, - мгновенный модуль упругости, - суммарное смещение пружины и поршня, - суммарная нагрузка, действующая на систему.

При постоянной нагрузке (ползучесть) деформация будет равна .

При постоянной по времени деформации (релаксация напряжений) суммарная сила определится как .

84. Какие явления можно описать с помощью модели Бургерса?

Последовательное соединение моделей Максвелла и Фойгта представляет модель Бургерса, особенность которой заключается в том, что она учитывает как время релаксации, так и время запаздывания в вязкоупругом материале.

Если вязкость в элементе модели Максвелла становится существенной, что может наблюдаться, например, при снижении температуры тела, то данную деформацию можно не учитывать, и модель в этом случае будет описывать поведение упругого твердого материала. С ростом температуры тела вязкость будет уменьшаться, при этом будут происходить явления запаздывания и релаксации, что характерно для вязкоупругих материалов. При дальнейшем повышении температуры вязкости и снизятся настолько, что модель будет описывать поведение вязкой жидкости с небольшим эффектом запаздывания.

Модель Бургерса

Общая деформация равна сумме деформаций , где - деформация верхней пружины модели Максвелла, - деформации элементов модели Фойгта, - деформация вязкого элемента модели Максвелла.

Подставив соответствующие значения, получим

Отсюда получается линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции

, решением которого будет выражение , где - коэффициенты при производных, выраженные через реологические константы модели Бургерса (индивидуальные реологические параметры материала), - постоянные интегрирования и - независимые переменные, также выражаются четырьмя константами модели.

Из решения следует, что модель Бургерса аналогична двум последовательно соединенным моделям Максвелла и описывает поведение материала с двумя временами релаксации и .