1.3 Способы описания булевых функций

Известно несколько способов описания булевых функций и выбор конкретного для практического применения определяется в соответствии с условиями решаемой задачи. Теория ФАЛ позволяет получить немедленный практический результат в виде принципиальных схем, ориентированных на заданную элементную базу (серию интегральных схем и типы логических элементов) и именно это определяет условия применения того или иного описания ФАЛ и последующие действия по их упрощению с целью получения

экономичной реализации в виде конструкции для установки в радиоэлектронную аппаратуру.

1.3.1 Табличное описание булевых функций

Вследствие конечности множества наборов заданного количества логических переменных, простейшим и самым естественным способом описания ФАЛ является табличный. Пример описания трёх ФАЛ четырёх переменных представлен в таблице 3. Все наборы переменных в таблице упорядочены по возрастанию числового двоичного кода этих наборов. Коды наборов могут быть представлены в восьмеричной, шестнадцатиричной или даже десятиричной (что нежелательно) системе счисления.

Одна ФАЛ описывается одной таблицей, но для функций одинакового количества переменных можно использовать в таблице общее поле наборов переменных и интерпретировать такую таблицу как описание системы булевых функций.

Для примера выбраны функции (система функций):

- конституента 1 (F₁₂);

- конституента 0 (Ф₁₄);

- функция общего вида (F).

В таблице 3 конституенты 1 обозначаются F_j , где j - восьмеричный код набора переменных, на котором конституента равна 1, конституенты 0 обозначаются Ф_p , где p - восьмеричный код набора переменных, на котором конституента равна 0. Общее количество конституент 1 и общее количество конституент 0 равны по 2ⁿ , где n - количество булевых переменных в наборе. Табличное описание ФАЛ и систем ФАЛ является простым и наглядным, однако весьма громоздким для практического использования.

1.3.2 Аналитическое описание булевых функций

На примерах описания ФАЛ, приведенных в таблице 3, видно, что конституента 1 может быть описана в виде элементарной конъюнкции переменных:

; (15)

где: ,если соответствующий разряд кода равен 0; ,если соответствующий разряд кода равен 1.

Конституента 0 может быть описана в виде элементарной дизъюнкции переменных:

; (16)

где: ,если соответствующий разряд кода равен 1; ,если соответствующий разряд кода равен 0.

Формулы (15) и (16) представляют аналитическую форму записи конституент, как функций алгебры логики.

ФАЛ общего вида может быть аналитически записана:

- в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ)

; (17)

где F_p , F_k ,..., F_z - конституенты 1. В контексте аналитической записи ФАЛ в СДНФ все конъюнктивные термы имеют максимальный ранг и называются минтермами ранга n.

- в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ)

Ф = Ф_d & Ф_t & ... Ф_y; (18)

где Ф_d , Ф_t ,..., Ф_y - конституенты 0. В контексте аналитической записи ФАЛ в СКНФ все дизъюнктивные термы имеют максимальный ранг и называются макстермами ранга n.

ФАЛ общего вида, приведенная в таблице 3, записывается в СДНФ как:

В СКНФ эта же ФАЛ записывается как:

Для практического применения обычно используется СДНФ и мы в дальнейшем будем пользоваться только этой формой представления ФАЛ.