3. Теоретические основы и методика выполнения расчетной задачи

3.1. Ведущая функция и функция параметр случайного потока замен

Одним из методов обновления машин в парке является списание и замена их новыми в момент фактического достижения предельного состояния. При такой системе полностью используется ресурс каждой машины, и их число в парке остается постоянным.

Поскольку ресурс и срок службы машин являются случайными величинами, эти замены будут происходить в случайные моменты времени или наработки.

Можно сказать, что на каждом машино-месте в парке случайная величина ресурс или срок службы машины порождает случайный поток замен.

Для расчета и планирования поставок новых машин можно использовать аппарат, аналогичный применяемому для вероятностных расчетов потока отказов.

Далее изложение будем вести в терминах потока замен и срока службы.

В качестве характеристики потоков используется ведущая функция (t), определяемая как математическое ожидание числа замен за время t.

Число замен за время t является дискретной случайной величиной, принимающей все целочисленные значения от нуля до бесконечности. Математическое ожидание этой случайной величины определяется в виде суммы

(t)= i p_i(t), (1)

где p_i(t) - вероятность того, что за время t произойдет ровно i замен. Эту вероятность можно определить как разность

p_i(t)=F_i(t)-F_i+1(t), (2)

где F_j(t) – обозначает функцию распределения суммы j случайных сроков службы.

Подставив это выражение в сумму (1), где суммирование, исключив равный нулю член ряда, можно начать со значения i=1, получим после преобразований

(t)= F_i(t), (3)

Эту формулу можно использовать не только в случае одинаковых, но также и разных распределений сроков службы между соседними заменами.

С помощью ведущей функции можно планировать поставки запасных частей, затраты на ремонт, техническое обслуживание и т.д., определяя среднее число замен, например, на произвольном интервале (t₁, t₂)

(t₁, t₂)=(t₂)-(t₁) (4)

Поскольку ведущая функция неограниченно возрастает от времени, вместо нее используют отношение

h(t)=

В вероятностных расчетах применяется также функция, называемая параметр потока замен (плотность замен), которая определяется как производная от ведущей функции

ω(t)= (5)

Соответственно, можно выразить ведущую функцию через параметр потока замен

(t)= ω(x)dx (6)

Вероятностный смысл функции ω(t) состоит в том, что произведение ω(t)∙dt значения функции для любого значения t на ширину dt бесконечно малого интервала (t, t+dt) равно:

а) вероятности, что очередная замена произойдет на этом интервале;

б) среднему значению (математическому ожиданию) числа замен на том же интервале.

Предполагается, что ширина интервала настолько мала, что изменениями на нем функции ω(t) можно пренебречь.

Функция ω(t) отличается от функции плотности распределения f(x) случайной величины тем, что время t отсчитывается от начала процесса, порождаемого этой случайной величиной, и до момента t могло быть сколько угодно замен, а переменная x отсчитывается от предыдущего момента замены до следующего соседнего момента в этом потоке.

Продифференцировав обе части (3), получим

ω(t)= f_i(t), (7)

где f_i(t) - плотность распределения суммы сроков службы i машин.

Если все промежутки между соседними событиями потока подчиняются одному и тому же распределению с плотностью f(t), кроме может быть первого, плотность распределения которого f₁(t), то плотности f_i(t) можно определять рекуррентно, вычисляя свертку плотностей

f_i(t)= f_i-1(x) f(t-x)dx= f_i-1(t-x) f(x)dx, i=2,3… (8)

В этом случае в установившемся стационарном режиме при увеличении t функция ω(t) стремится к постоянному предельному значению

_П= = , (9)

где t_ср – математическое ожидание срока службы машины.

Частный случай. Нормальное распределение срока службы с плотностью распределения

f(t)= exp[- ], (10)

где >0,  - параметры, совпадающие со среднеквадратическим отклонением (корнем квадратным из дисперсии) и математическим ожиданием.

Поскольку нормальное распределение является устойчивым к операции сложения, т.е. сумма нормально распределенных случайных величин имеет также нормальное распределение, плотность f_i(t) распределения суммы i сроков службы будет иметь вид

f_i(t)= exp[- ] (11)

При этом не требуется вычислять свертку плотностей, а достаточно определить значения параметров μ_i и σ_i, используя свойства математического ожидания и дисперсии.

Поскольку математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий

μ_i=iμ (12)

Аналогично, при сложении независимых случайных величин суммируются и их дисперсии, откуда получаем

(13)

Подставим эти выражения в формулы (11) для плотностей f_i(t)

f_i(t)= exp[- ] (14)

Подставив затем это выражение в сумму (3) для вычисления параметра потока замен, получим

ω(t)= exp[- ] (15)

Вынесем за знак суммирования не зависящий от индекса i коэффициент

ω(t)= exp[- ] (16)

Формулы (15) или (16) можно использовать для расчета функции ω(t), вычисляя значение суммы для каждого заданного значения t.

Если для расчетов использовать программные средства, например, Excele или Mathcad, то проще использовать формулу (15). Если же проводить расчеты с помощью калькулятора, то можно сэкономить время, пользуясь формулой (16).

Заметим, что в отличие от индекса i, формулы справедливы для любых значений t, не обязательно целочисленных.