Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§1. Производная

1. Понятие производной

Задача о скорости  химической реакции.

Пусть дана функция m=m(t), где m - количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆m величины m. Отношение - средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Предел этого отношения при стремлении ∆t к 0, т.е. - скорость химической реакции в данный момент времени t. Рассмотрим математическую операцию, требуемую для решения данной задачи:

Пусть функция f(x) определена в интервале (а;b), возьмем х(а; b). Затем возьмем новое значение аргумента х+∆х из этого промежутка, придав первоначальному значению х приращение ∆х0 (положительное или отрицательное). Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции у+∆у=f(x+∆х), где ∆у=f(x+∆х)-f(x) – приращение функции.

Составим отношение ∆у к ∆х: = .

Определение1. Если существует предел отношения ∆у к ∆х, когда ∆х→0, то этот предел называется производной от функции у=f(x) в данной точке х и обозначается у или f(x). Таким образом

или .

Действие нахождения производной функции называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Пример.

1. Найдем производную функции у=с (с=const).

Придадим произвольной точке х приращение ∆х0. Соответствующее приращение функции: ∆у=с-с=0. Следовательно, и .

2) Найдем производную функции у = sin х.

(sinх)=cosх

Замечание. Из рассмотренной выше задачи о скорости химической реакции, получим, что скорость  химической реакции есть производная вещества m по времени t, т.е.  =m(t).

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция у=f(x)- дифференцируема в некоторой точке х, то она непрерывна в этой точке.

2. Правила дифференцирования и производные элементарных функций

Вывод общих правил дифференцирования.

Пусть даны функции U(x) и V(x), имеющие производные U(x) и V(x)

1) Производная суммы.

Пусть у=U+V, найдем у.

2) Производная произведения

3) Вынесение постоянного множителя за знак производной

4) Производная частного

5) Производная сложной функции

Пусть переменная у зависит от переменной U, т.е. у=f(U), а переменная U зависит от переменной х, т.е. U=(x). Функция f(U) имеет производную по переменной U, функция (x) имеет производную по переменной х. Тогда сложная функция y=f((x)) тоже имеет производную по переменной х, которая равна производной внешней функции f(U), умноженной на производную внутренней функции (x):

у(х)= у(U)·U(х)

Пример.

у=sin 3х, у=cos 3х·(3x)=3cos 3x.

6) Производная обратной функции.

Пусть у=f(x) и х=(у)- взаимно обратные функции, тогда если функция у=f(x) имеет производную у=f(x)0, то обратная функция имеет производную (у) и (у)= или х(у)= .

Производные тригонометрических функций

1) (sin х)=cos х , (sin U(х)) = U(х)٠cos U(х)

2) .

(cos U(х)) = - U(х) ٠ sin U(х)

3) (tg х) = , (tg U(х)) =

4) (сtg х) = - , (сtg U(х)) =

Производная логарифмической функции:

1)(ln x) = , (ln U(х)) =

2) (log_a x)= , (log_a U (x))=

Производная степенной функции:

y = х^α , α  R, х > 0

(х^α) = α · х^α-1

((U(х))^α) = α ·(U(х))^α-1·U(х)

Производная показательной функции:

(а^х) = а^х · ln а

(е^х) = е^х

(е^U(х)) = е^U(х)·U(х)

Производные обратных тригонометрических функций:

Функция у = arcsin х является обратной по отношению к функции х=sin у, тогда

(arcsin х)= = = = , - y

(arcsinx)=

(arcsin U(х))=

(arccos х)= , 0yπ

(arccos U(х))=

(arctg x) = , (arctg U(х))=

(arcctg x)=- , (arcctg U(х))=