6.4.4. Корені характеристичного рівняння – комплексні

Нехай, нарешті, дискримінант характеристичного рівняння (14) від"єм-ний, так що характеристичне рівняння має два комплексні корені

.

Ми могли б зразу написати два комплексні частинні розв"язки рівняння (12),

,

але краще знайти дійсні розв"язки, і ми спроможні зробити це. Дійсно, послуговуючись формулою Ейлера

,

отримуємо

.

Тепер на підставі властивості 3 розв"язків лінійного однорідного диференціального рівняння з дійсними коефіцієнтами (див. п. 6.1) дві дійсні функції

є частинними розв"язками рівняння (12), причому лінійно незалежними, оскіль-ки

.

Таким чином, загальний розв"язок рівняння (12) в даному випадку є

.

Приклад 9. .

Характеристичне рівняння

має комплексні корені

.

Тому диференціальне рівняння має два дійсні лінійно незалежні розв"язки

,

які дають можливість отримати загальний розв"язок

.

Приклад 10. Для вже відомого рівняння

(приклади 5, 6) характеристичне рівняння

має комплексні корені

.

Отже, лінійно незалежні дійсні розв"язки диференціального рівняння є

а загальний розв"язок дається формулою

Цей результат збігається з отриманим в прикладі 6.

Зауваження. Позначмо

ліву частину характеристичного рівняння (14). Тоді наявність у нього двох різних коренів (дійсних або комплексних) можна висловити символічно таким чином:

Якщо ж характеристичне рівняння має два дійсних рівних корені , то цей факт можна символічно подати так:

6.5. Лінійні неоднорідні рівняння

6.5.1. Структура загального розв"язку

Теорема 6 (структура загального розв"язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння). Загальний розв"язок лінійного неоднорідного дифе-ренціального рівняння дорівнює сумі загального розв"язку відповідного однорідного рівняння та якого-небудь частинного розв"язку даного рівнян-ня,

. ( 18 )

■ Нехай, наприклад,

- загальний розв"язок лінійного однорідного рівняння (3), яке відповідає неоднорідному рівнянню (1) другого порядку. Тут - два лінійно незалежних розв"язки однорідного рівняння (3) на якомусь відрізку . Функція

є на розв"язком рівняння (1) для будь-яких значень сталих , оскільки

.

Нам треба тільки показати, що для довільних початкових умов (2) можна знайти значення сталих так, щоб задовольнити ці умови.

Оскільки

,

ми дістаємо систему лінійних алгебричних рівнянь відносно , а саме:

Система має єдиний розв"язок, бо її головний визначник є значенням вронскіана розв"язків рівняння (3), а тому відмінний від нуля внаслідок лінійної незалежності останніх і теореми 4.■

Приклад 11. Функція

є загальним розв"язком диференціального рівняння

.

Дійсно, функція

є загальним розв"язком відповідного однорідного рівняння

(див. приклади 5, 6), а функція

- частинним розв"язком даного рівняння.

6.5.2. Метод варіації довільних сталих Лаґранжа1

Нехай ми шукаємо загальний розв"язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку (1). Ми можемо разом з Лаґранжем здійснити це в наступні два етапи.

1. Спочатку ми шукаємо загальний розв"язок

відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння (3), де - два його лінійно незалежні частинні розв"язки (на деякому відрізку).

2. Шукатимемо тепер загальний розв"язок вихідного рівняння (1) в тому ж самому вигляді, що й загальний розв"язок рівняння (3), але трактуючи не як довільні сталі, а як невідомі функції, саме:

. ( 19 )

Знайдімо спочатку першу похідну шуканої функції,

,

а потім припустімо, що

.

Тоді

.

Підставляючи значення функцій в рівняння (1), матимемо

.

Дістаємо систему лінійних алгебричних рівнянь відносно похідних функцій

( 20 )

Розв"язуючи систему (20), отримуємо

,

де деякі відомі функції. Інтеґруючи, остаточно маємо

( 21 )

де - довільні сталі. Загальний розв"язок рівняння (1) дається формулою

. ( 22 )

Якщо подати загальний розв"язок (22) у вигляді

,

побачимо, що функція

є загальним розв"язком відповідного однорідного рівняння (3), а функція

- частинним розв"язком вихідного неоднорідного рівняння (1). Отже, формула (22) має саме ту структуру, яка визначена Теоремою 6 (і формулою (18)).

Приклад 12. Знайти загальний розв"язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку

.

1. Записуємо спочатку відповідно однорідне рівняння

.

Його характеристичне рівняння

має рівні дійсні корені , а тому однорідне рівняння має (на множині всіх дійсних чисел) два лінійно незалежні частинні розв"язки

і загальний розв"язок

2. Тепер шукаємо загальний розв"язок даного рівняння у вигляді

За формулою (20) дістаємо систему лінійних алгебричних рівняння відносно относительно і розв"язуємо її. Маємо

Інтеґрування дає

,

звідки знаходимо загальний розв"язок даного диференціального рівняння

.

Приклад 13. Розв"язати задачу Коші

.

1. Для відповідного однорідного рівняння

знаходимо лінійно незалежні частинні розв"язки

і загальний розв"язок

.

2. Тепер шукаємо загальний розв"язок даного рівняння у вигляді

.

За формулою (20) отримуємо, а далі розв"язуємо систему лінійних алгебричних рівняння відносно .

Інтеґруючи, знаходимо функції ,

.

Загальний розв"язок даного рівняння є

.

3. Нарешті знаходимо значення сталих з початкових умов. Для зручності знайдімо спочатку похідну шуканої функції

,

а потім - значення функцій в точці ,

.

На підставі початкових умов повинні мати

.

Звідси отримуємо систему рівнянь відносно сталих ,

Шуканий розв"язок задачі Коші

.