5.3.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно незалежної змінної.

Диференціальне рівняння другого порядку, яке не містить явно незалежної змінної, тобто

, ( 27 )

зводиться до рівняння першого порядку введенням нової шуканої функції

. ( 28 )

Диференціюючи складену функцію,

, ( 29 )

дістаємо рівняння першого порядку відносно ,

( 30 )

з незалежною змінною y.

Якщо ми зможемо знайти загальний розв"язок рівняння (30),

,

то інтеґрування вихідного рівняння завершується наступним чином

.

Приклад 18. Розв"язати задачу Коші для рівняння

з початковими умовами

.

Рівняння не містить явно незалежної змінної, і тому ми покладаємо

.

Перший крок.

;

на підставі початкових умов

.

Другий крок.

.

Враховуючи першу початкову умову, маємо

,

і розв"зок даної задачі Коші дається формулою

.

Приклад 19. Розв"язати задачу Коші

.

Перший крок.

.

З початкових умов випливає, що (перевірте!), і пісня ділення на маємо

.

Отримали рівняння Бернуллі, розв"зок якого шукатимемо у вигляді

,

звідки

.

;

; після врахування початкових умов маємо

,

.

Другий крок.

;

.

Шуканий розв"язок задачі Коші

,

або просто

,

оскільки

6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

6.1. Загальні поняття

Означення 1. Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається наступне диференціальне рівняння:

. ( 1 )

Коефіцієнти та вільний член рівняння – відомі функції, а шуканою функцією є .

Початкові умови для рівняння (1) мають звичайну форму

( 2 )

Рівняння (1) називається неоднорідним, якщо його вільний член не дорівнює нулю тотожно.

Якщо ж , рівняння

( 3 )

називається однорідним, яке відповідає неоднорідному рівнянню (1). Іноді його називають однорідним рівнянням, приєднаним до (неоднорідного) рівняння (1).

Теорема 1 (однозначна розв"язність задачі Коші). Якщо коефіцієнти і вільний член рівняння (1) неперервні на деякому відрізку , то задача Коші (1), (2) (зокрема (3), (2)) має єдиний розв"язок, і ций розв"язок визначено на всьому відрізку (а не в деякій його частині).

Приклад 1. Задача Коші для однорідного рівняння (3) з нульовими початковими умовами

( 4 )

має єдиний, а саме тривіальний розв"язок .

Означення 2. Ліва частина диференціальних рівнянь (1), (3) називається лінійним диференціальним оператором і позначається ,

. ( 5 )

Лінійний диференціальний оператор посідає наступні властивості:

1. (адитивність).

■

.■

2. для будь-якої константи k (однорідність).

■ ■

Як наслідок для будь-яких констант маємо

(лінійність).

За допомоги лінійного диференціального оператора рівняння (1), (3) можна подати наступним чином:

,

.

Властивості розв"язків лінійного однорідного диференціального рівняння (3).

1. Сума скінченної кількості розв"язків рівняння (3) також є розв"язком.

■Нехай, наприклад - два розв"язки рівняння (3), тобто

.

За властивістю 1 лінійного диференціального оператора

.■

2. Добуток будь-якого розв"язку рівняння (3) на константу також є роз-в"язком.

■Нехай y – розв"язок рівняння (3), тобто

,

а k - стала. За властивістю 2 лінійного диференціального оператора

.■

Наслідок. Сума добутків скінченної кількості розв"язків рівняння (3) на довільні сталі також є розв"язком.

Якщо, наприклад, - два розв"язки рівняння (3), а довільні сталі, то функція

також є розв"язом, що випливає з властивостей 1 і 2 розв"язків рівняння (3).

3. Якщо функція є комплексним розв"язком рівняння (3) з дійсними коефіцієнтами , то його дійсна та уявна частини також є розв"язками цього рівняння.