5.2.5. Рівняння Бернуллі

Означення 13. Диференціальним рівнянням Бернуллі називається диференціальне рівняння першого порядку вигляду

( 21 )

де n – довільне дійсне число, відмінне від 0 і 1. При рівняння перетворюється в рівняння з відокремлюваними змінними, а при - в лінійне.

Ми можемо інтеґрувати рівняння Бернуллі таким же чином, як і лінійне, покладаючи

.

Іншим способом інтеґрування рівняння Бернуллі є його зведення до ліній-ного рівняння. Для цього поділимо обидві його частини на ,

,

а потім покладімо

.

Матимемо

.

Останнє рівняння є лінійним відносно нової шуканої функції z (x).

Приклад 15. Проінтеґрувати диференціальне рівняння

.

Маємо справу з рівнянням Бернуллі, в якому

і .

Перший спосіб. Знаходячи розв"язок рівняння у вигляді добутку

,

маємо

(*)

(**)

Другий спосіб. Зведімо рівняння до лінійного, поділивши обидві його частини на :

Далі використовуємо звичайну процедуру інтеґрування лінійного диференціального рівняння першого порядку.

(*)

(**)

5.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які припускають зниження порядку

5.3.1. Рівняння вигляду .

Нехай нам треба проінтеґрувати диференціальне рівняння другого порядку, розв"язане відносно старшої похідної, якщо його права частина є функцією тільки незалежної змінної,

. ( 22 )

Загальний розв"язок такого рівняння знаходиться шляхом двократного інтеґру-вання по незалежній змінній, а саме:

. ( 23 )

■

.■

Зауваження 7. Якщо для рівняння (22) треба розв"язати задачу Коші з початковими умовами

,

то краще провести інтеґрування по змінному відрізку , тобто:

.

В такому разі ми зразу отримуємо

,

і розв"язок задачі Коші набуває вигляду

.

Приклад 16. Розв"язати задачу Коші

Двічі інтеґруючи, ми отримуємо спочатку загальний розв"язок рівняння,

.

Беручи далі до уваги початкові умови, знаходимо відповідні значення ста-лих ,

.

Шуканий розв"язок задачі Коші має вигляд

.

Враховуючи зауваження 7, ми б могли знайти розв"язок задачі Коші наступним чином:

5.3.2. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно шуканої функції.

Нехай диференціальне рівняння другого порядку не містить явно шуканої функції, тобто має вигляд

. ( 24 )

В такому випадку воно легко зводиться до рівняння першого порядку відносно нової шуканої функції

. ( 25 )

Оскільки

,

рівняння (24) переходить в наступне:

. ( 26 )

Уявімо, що нам вдалось знайти загальний розв"язок рівняння (26)

.

В такому разі ми можемо завершити інтеґрування вихідного рівняння таким чином:

.

Приклад 17. Знайти загальний розв"язок диференціального рівняння

.

В рівняння не входить явно шукана функція.

Перший крок. Покладаючи

,

ми отримуємо диференціальне рівняння першого порядку відносно нової шуканої функції ,

.

Отримане рівняння першого порядку є лінійним. Згідно відповідній теорії ми покладаємо , і отже

,

.

Другий крок. Повертаючись до , ми знаходимо загальний розв"язок даного рівняння,

.