5.2.4. Лінійні рівняння

Означення 12. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння вигляду

( 19 )

де коефіцієнт і вільний член - відомі функції.

Теорема 5. Інтеґрування лінійного диференціального рівняння (19) зводиться до послідовного інтеґрування двох диференціальних рівнянь першого порядку з відокремлюваними змінними.

■Шукатимемо ненульовий розв"язок рівняння (19) у вигляді добутку двох інших невідомих функцій ,

. ( 20 )

Диференціюючи і підставляючи значення в рівняння, маємо

.

Наявність двох невідомих функцій дає можливість накласти на одну з них певну додаткову умову. Саме, знайдімо яку-нибудь функцію , котра анулює вираз в дужках. Для її відшукання і завершення інтеґрування рівняння ми повинні розглянути два допоміжні диференціальні рівняння, а саме

, (*)

. (**)

Очевидно, обидва вони є рівняннями з відокремлюваними змінними, причому нам достатньо знайти тільки якийсь частинний розв"язок першого.

Інтеґрування рівняння (*) дає

Оскільки нам потрібен якийсь один частинний розв"язок рівняння (*), ми можемо надати довільній сталій будь-якого ненульового значення, наприклад , і отримати потрібну нам функцію

Підставляючи знайдене значення в рівняння (**), знаходимо його загальний розв"язок,

.

Остаточно ми дістаємо загальний розв"язок рівяння (19), а саме

■

Приклад 12. Проінтеґрувати диференціальне рівняння

.

Дане рівняня є лінійним, в якому

.

Згідно з теорією покладаємо

,

а тому

.

Ми повинні послідовно проінтеґрувати два рівняння

, (*)

. (**)

Що стосується рівняння (*), маємо

,

;

з огляду на довільність ми можемо відкинути знаки абсолютної величини і написати

,

а потім взяти якусь одну з знайденої множини функцій, наприклад

.

Переходячи до рівняння (**), отримуємо

.

Тепер знаходимо загальний розв"язок даного диференціального рівняння

.

Приклад 13. Проінтеґрувати диференціальне рівняння

.

Перепишемо рівняння наступним чином:

, , , .

Ми бачимо, що отримане диференціальне рівняння є лінійним відносно шуканої функції . Це дозволяє нам діяти таким чином:

, (*)

. (**)

Розв"язуючи перше рівняння (*), маємо

.

Взявши , інтеґруємо рівняння (**), тобто

.

Загальним розв"язком заданого рівняння є

.

Приклад 14 (потік фондів). Нехай - кількість фондів в момент часу t. Знецінення фондів протягом інтервалу часу дорівнює , де - деякий коефіцієнт знецінення. Зростання кількості фондів за той же інтервал часу дорівнює , де I – відома річна кількість інвестицій, а - деякий коефіцієнт (0< <1 внаслідок того, що не всі інвестиції вкладаються в фонди). Величина фондів в момент часу дорівнює

.

Швидкість руху фондів в момент часу t дорівнює

.

Ми дістали задачу Коші для рівняння

з початковою умовою

.

Коефіцієнти рівняння і величина I можуть бути як сталими, так і відомими функціями від t. В цьому випадку отримане диференціальне рівняння є лінійним. Більш того, величина I може бути рівною добутку функції від t і n-го степеня шукакої функції K(t). В такому разі ми зустрічаємось з рівнянням ще одного типу, а саме з так званим рівнянням Бернуллі¹.