5.2. Інтеґровні типи диференціальних рівнянь першого порядку

Існують диференціальні рівняння першого порядку, інтеґрування (розв"я-зання) яких зводиться до обчислення невизначених інтеґралів, або, як часто кажуть, до квадратур. До таких рівнянь відносяться зокрема рівняння з відокремленими або відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, рівняння Бернуллі, до розгляду яких ми приступаємо.

5.2.1. Рівняння з відокремленими змінними

Означення 9. Диференціальне першого порядку вигляду

, ( 7 )

де змінні x, y відокремлені (знаходяться в різних місцях), називається рівнянням з відокремленими змінними.

Теорема 3. Загальний розв"язок (згідно з зауваженням 1 - загальний інтеґрал ) диференціального рівняння (7) має вигляд

, ( 8 )

де під виразами

розуміють деякі первісні (а не невизначені інтеґрали!) функцій відповідно.

■Частина 1.

a) Нехай функція є розв"язком рівняння (7), тобто тотожно маємо

.

Інтеґруючи тотожність по x, ми отримаємо рівність (8), а саме:

.

b) Навпаки, нехай функція задовольняє рівність (8), тобто тотожно

.

Диференціюючи тотожність, маємо

,

звідки бачимо, що функція є розв"язком рівняння (7).

Таким чином, кожний розв"язок рівняння (7) задовольняє рівність (8) і навпаки, кожна функція, яка задовольняє рівність (8), є розв"язком рівняння (7).

Частина 2. Щоб довести можливість вибору значення C так, щоб задовольнити початкову умову

, ( 9 )

запишемо первісні в формулі (8) у вигляді визначених інтеґралів з змінними межами інтеґрування,

.

На підставі початкової умови (9) дістаємо

.■

Зауваження 3. Взявши , отримаємо . Таким чином, роз-в"язок задачі Коші для рівняння (7) з початковою умовою (9) можна записати в найпростішому вигляді

. (10)

Зауваження 4. Інтеґрування диференціального рівняння (7) зводиться до більш простої задачі, а саме – до відшукання первісних (до квадратур). І не важливо, якщо принаймні одна з первісних не може бути вираженою через елементарні функції.

Приклад 4. Диференціальне рівняння

є рівнянням з відокремленими змінними. Його загальний розв"язок дається формулою

.

Обидві первісні

, ,

як відомо, не виражаються через елементарні функції, але задача інтеґрування диференціального рівняння вважається розв"язаною.

5.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними

Означення 10. Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними (або рівнянням з змінними, які відокремлюються), якщо його можна звести до рівняння з відокремленими змінними.

Таким є, наприклад, диференціальне рівняння

( 11 )

за умови .

Достатньо записати похідну у вигляді , помножити обидві частини рівняння на і поділити на ,

.

Таким чином, загальний розв"зок рівняння (11) дається формулою

. ( 12 )

До того ж типу рівнянь з відокремлюваними змінними належить таке рівняння

( 13 )

у випадку . Ми дістаємо рівняння з відокремленими змінними, поділивши обидві частини рівняння на ,

,

і загальним розв"язком вихідного рівняння є

. ( 14 )

Приклад 5. Диференціальне рівняння

має вигляд (13), де

,

і є рівнянням з відокремлюваними змінними. Поділивши обидві його частини на добуток , маємо

,

звідки

.

Зауваження 5. Задля більшої простоти ми можемо записувати довільну сталу C в різних формах.

Например, візьмемо в попередньому прикладі довільну сталу у вигляді (замість C). Тоді матимемо

.

Покладаючи остаточно , дістаємо загальний розв"язок рівняння в більш простому вигляді

,

або

.

Приклад 6. Компанія на теперішній час має 1680 одиниць деякої продукції, і ця кількість поповнюється з швидкістю 900 одиниць в місяць (од/міс). Зараз попит має швидкість 800 од/міс, але поступово зменшується з швидкістю 10 (од/міс). Компанія хоче скорочувати випуск продукції з швидкістю n од/міс з тим, щоб реалізувати її всю протягом року. Знайти значення n.

Нехай - кількість одиниць продукції, які є в наявності в компанії в момент часу t. Очевидно, . Швидкість зміни кількості продукції в момент t дорівнює

.

Відомо, що

,

де - швидкість виробництва, а - швидкість продажу. За умови задачі

,

або

.

Ми дістаємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними відносно з початковою умовою

,

так що треба розв"язати для рівняння задачу Коші. З рівняння маємо

,

з початкової умови знаходимо , і

.

Щоб продати всю продукцію протягом року ми повинні мати

,

звідки випливає, що .

Відповідь: компанії необхідно скоротити випуск продукції з швидкістю n = 50 од/міс.

Приклад 7 (задача з демографічним змістом). Швидкість зростання кількості населення в довільний момент часу пропорційна кількості населення в цей момент (з кофіцієнтом пропорційності k). Знайти кількість населення в довільний момент t, якщо вона дорівнює в початковий момент .

Нехай - кількість населення в момент часу t (очевидно, що ). Швидкість зростання кількості населення в цей момент

.

Згідно з умовою

.

Отже,

,

і ми повинні розв"язати задачу Коші.

Диференціальне рівняння задачі – з відокремлюваними змінними,

,

.

Таким чином, ми отримали експоненційне зростання кількості населення за умови відсутності якихось стримуючих факторів (зниження життєвого рівня, заходів по зниженню народжуваності і т.ін.).

Приклад 8 (геометрична задача). Знайти криву, яка проходить через точку , якщо відрізок її довільної дотичної між точкою дотику і віссю ді-литься точкою перетину відрізка з віссю в даному відношенні 5 : 8, рахуючи від осі (див. рис. 1). Рис. 1 З умови випливає , що шукана крива не може перетинати координатні осі і тому повинна знаходитись в першому квадранті.

Нехай - шукане рівняння кривої, - довільна точка кривої, яка є точкою дотику, . Тоді ,

(рис. 1).

Згідно з умовою

Отримали задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, отримуємо

,

.

За допомоги початкової умови знаходимо значення сталої і розв"зок задачі Коші,

.

Існує інший спосіб виведення диференціального рівняння задачі, заснований на використанні рівняння дотичної до кривої в її довільній точці .

Дісно, нехай - координати довільної (поточної) точки дотичної. Тоді рівняння дотичної можна записату у вигляді

.

Покладаючи в цьому рівнянні , отримаємо

.

Тепер на підставі умови задачі маємо

звідки

.