8. Поняття про наближені методи інтеґрування диференціальних рівнянь
8.1. Метод послідовних наближень
Розглянемо задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку
,
( 1 )
.
( 2 )
Теорема 1. Задача Коші (1), (2) є еквівалентною наступному інтеґрально-му рівнянню
( 3 )
■a) Якщо функція є розв"язком задачі Коші, то
.
Інтеґриручи тотожність, отримуємо
Отже, функція , тобто розв"язок задачі Коші (1), (2), є також розв"язом інтеґрального рівняння (3).
б) Нехай тепер функція є розв"язком інтеґрального рівняння, тобто
.
Звідси випливає, що , а після диференціювання рівняння маємо
.
Таким чином, названа функція є також розв"язком задачі Коші (1), (2).■
На підставі доведеної теореми замість задачі Коші (1), (2) розглядатимемо інтеґральне рівняння (3).
Будемо послідовно покладати
,
,
,
……………………………..
,
( 4 )
Теорема 2. Якщо
функція
та її частинна похідна по y,
,
неперервні в деякій області D
площини
,
то існує така функція
,
що для довільного x
з деякого інтервала
маємо
.
Доведення теореми (навіть за менш обтяжливих умов, що накладаються на частинну похідну ), міститься в більш ґрунтовних курсах диференціальних рівнянь.
Переходячи тепер до границі
при
в рівності (4),
дістаємо рівність
.
Вона означає, що функція є розв"язком інтеґрального рівняння (3), а отже й розв"язком задачі Коші (1), (2).
На підставі сказаного формула (4) дає наближене значення шуканого роз-в"язку задачі Коші (1), (2).
Зауваження. Функція
,
яку подано формулою
(4), називається
n-им
наближенням до шуканого
розв"язку задачі
Коші.
Приклад 1. Знайти перші три наближення до розв"язку задачі Коші
Тут
,
і задача Коші
є еквівалентною
інтеґральному
рівнянню
.
Отже,
.
Продовжуючи цей процес, ми можемо знайти значення розв"язку задачі Коші з довільною точністю (на певному інтервалі значень x, який для деяких рівнянь може навіть збігатися з множиною всіх дійсних чисел).
8.2. Метод ейлера1
Нехай ми шукаємо розв"зок
задачі Коші
(1), (2) на відрізку
.
Поділимо відрізок на n рівних частин довжини
.
Очевидно, точками ділення будуть точки
.
Замінимо далі похідну шуканої функції
різницевим відношенням
,
а диференціальне рівняння (1) – так званим різницевим рівнянням
.
Звідси маємо
.
( 5 )
На підставі (5) ми послідовно отримуємо
( 6.1 )
( 6.2 )
( 6.3 )
………………………………..
.
( 6.n
)
З"єднуючи
точки
відрізками ламаної лінії
або ж якоюсь плавною лінією, ми
дістаємо наближений
гра-фік
шуканого розв"язку
задачі
Коші.
Приклад 2. Знайти наближений розв"язок задачі Коші
на
відрізку
.
Тут
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
.
Поділивши відрізок
на 10 рівних
частин довжини
,
дістанемо обчислювальну
формулу
.
Подальші обчислення зведено
в таблицю 1, де показано також точки
наближеного графіка розв"язку задачі
Коші. Зауважмо тільки, що в таблиці
відсутня перша точка наближеного
графіка, а саме точка
.
Таблиця 1
|
|
|
|
|
|
0 |
0.0 |
1.00 |
1.00 |
1.00 |
|
1 |
0.1 |
1.00 |
1.01 |
1.01 |
|
2 |
0.2 |
1.01 |
1.02 |
1.03 |
|
3 |
0.3 |
1.03 |
1.03 |
1.06 |
|
4 |
0.4 |
1.06 |
1.04 |
1.10 |
|
5 |
0.5 |
1.10 |
1.05 |
1.16 |
|
6 |
0.6 |
1.16 |
1.06 |
1.23 |
|
7 |
0.7 |
1.23 |
1.07 |
1.31 |
|
8 |
0.8 |
1.31 |
1.08 |
1.42 |
|
9 |
0.9 |
1.42 |
1.09 |
1.55 |
|
ЗМІСТ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ 312