6.5.4. Принцип суперпозиції

Ми часто-густо зустрічаємось з ситуацією, коли вільний член неоднорідного рівняння є сумою декількох різних доданків спеціального вигляду. Нехай, наприклад,

. ( 34 )

Частинний розв"язок рівняння (34) дорівнює сумі (суперпозиції) частинних розв"язків наступних рівнянь:

.

■Нехай

.

Тоді

,

і тому

.

Це значить, що сума є частинним розв"язком даного рівняння (36), тобто .■

На практиці можна шукати за допомоги однієї процедури.

Приклад 18. Знайти загальний розв"язок диференціального рівняння

.

1. Загальнии розв"язком відповідного однорідного рівняння

є функція

,

оскільки характеристичне рівняння має два рівних дійсних корені (або ж один двократний корінь ).

2. Вільний член заданого рівняння є сумою трьох доданків

.

На підставі принципу суперпозиції і формул (27) - (28), (24) - (26), (32) - (33) ми можемо послідовно знайти частинні розв"язки трьох неоднорідних рівнянь

,

а потім утворити їх суму. Але краще зразу знайти частинний розв"язок даного рівняння у вигляді суми таких розв"язків, саме:

.

Оскільки

підстановка значень функцій в дане рівняння дає

.

Після відповідного перегруповування доданків,

,

ми дістаємо:

а)

б)

в) .

Таким чином,

,

так що загальний розв"язок заданого рівняння має вигляд

.

7. Нормальні системи диференціальних рівнянь

7.1. Загальні поняття

Означення 1. Нормальною системою диференціальних рівнянь першого порядку з n невідомими функціями називається система

( 1 )

Означення 2. Розв"яком нормальної системи (1) називається впорядкована множина n функцій яка задовольняє кожне її рівняння.

Означення 3. Задачею Коші для нормальної системи (1) називається задача знаходження розв"язку системи, що задовольняє початкові умови

( 2 )

Теорема 1. Якщо функції та їх перші частинні похідні по неперервні в деякій області D -вимірного простору , то для будь-якої точки

задача Коші (1), (2) має розв"язок, причому єдиний.

Означення 4. Загальним розв"язком нормальної системи (1) (в області D, що фігурує в теоремі 1) називається впорядкована множина n функцій

,

що містять n довільних сталих, яка задовольняє дві умови: a) ця множина є роз-в"язком системи для будь-яких значень сталих ; b) для будь-яких початкових умов (2) (якщо ) можна знайти значення сталих , щоб задовольнити ці умови.

Теорема 2. Будь-яка система диференціальних рівнянь довільного порядку, зокрема диференціальне рівняння n-го порядку можна звести до нормальної системи рівнянь першого порядку.

■Нехай, наприклад, дано диференціальне рівняння третього порядку

.

Покладаючи , ми отримаємо

тобто нормальну систему рівнянь першого порядку відносно шуканих функцій .■

7.2. Метод виключення для інтеґрування нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку

Теорема 3. Нормальну систему диференціальних рівнянь (1) можна, як правило, звести до одного диференціального рівняння n-го порядку за допомогою так званого метода виключення.

■Обмежмося нормальною системою двох лінійних рівнянь з сталими коефіцієнтами відносно шуканих функцій

( 3 )

Продиференціюємо перше рівняння та замінимо похідні шуканих функцій правими частинами рівнянь системи. Матимемо

, ( 4 )

де

.

З першого рівняння системи знайдемо (якщо це можливо) і підставимо його значення в рівняння (4),

, ( 5 )

,

, ( 6 )

де

.

Таким чином, систему (3) зведено до диференціального рівняння (6) другого порядку.■

Нехай тепер

- загальний розв"язок диференціального рівняння (6). Знаходячи з (5),

,

отримуємо загальний розв"язок системи рівнянь (3)

.

Приклад 1. Розв"язати задачу Коші для системи рівнянь

з початковими умовами .

Застосовуючи викладену теорію, маємо

.

Загальний розв"язок системи

.

Враховуючи далі початкові умови, отримуємо

Шуканий розв"язок задачі Коші

.

Приклад 2. Знайти загальний розв"язок системи рівнянь

На підставі теорії

,

а) ;

б)

,

,

.

Шуканий загальний розв"язок має вигляд

.