В. Достатня умова існування умовного екстремуму

Найпростіша задача (26), (27) на умовний екстремум

Нехай - деяка стаціонарна точка функції Лагранжа (36) для функції , тобто один з розв"язків системи рівнянь (37). Введімо матрицю Гессе для функції Лагранжа в довільній точці для двох випадків:

1. у випадку, коли , беремо її у вигляді

,

або ж

; ( 40 а )

б) коли ж , але , то беремо її у вигляді

. ( 40 б )

Перший головний мінор матриці дорівнює нулю, , а другий від"єм-ний, , в будь-якій точці. Розгляньмо значення третього головного мінора в стаціонарній точці , тобто

для матриці (40 а) і

для матриці (40 б).

Теорема 6. Нехай для стаціонарної точки функції Лагранжа:

а) принаймні одна з частинних похідних функції відмінна від нуля в точці ;

б) значення третього головного мінора матриці Гессе в стаціонарній точці відмінне від нуля.

1. Якщо

,

то функція має умовний мінімум в (геометричній) точці .

2. Якщо ж

,

то функція досягає в точці умовного максимуму.

Приклад. Знайти умовні екстремуми функції

за умови

,

тобто на колі радіуса 2 з центром в початку координат.

Перший крок: введення функції Лагранжа та знаходження її критичних точок.

Системи рівнянь відносно критичних точок функцаї Лагранжа, як правило, нестандартні і вимагають час від часу неабиякої кмітливості. Так, отриману нами систему ми будемо розв"язувати для двох випадків, які визначаються рівнянням (а).

1 випадок: ; .

2 випадок: ; .

Ми отримали чотири стаціонарні точки функції Лагранжа и відповідні геометричні стаціонарні точки заданої функції, саме:

Другий крок: дослідження стаціонарних точок на існування в них умовного экстремуму.

Частинні похідні другого порядку функції Лагранжа дорівнюють

A. Для точок і ми повинні взяти матрицю Гессе для функції Лагранжа в формі (40 а), бо частинна похідна відмінна від нуля в точках . Маємо

,

або просто

а) Для точки (і відповідно для геометричної точки )

.

б) Для точки (і відповідно для )

На підставі теореми 6 в обох точках и задана функція має умовний максимум, рівний .

Б. Що стосується другої пари стаціонарних точок

и ,

то для них ми беремо матрицю Гессе в формі (40 б), бо в точках і частинна похідна дорівнює нулю, але частинна похідна відмінна від нуля. Маємо

,

або просто

а) Для точки (відповідно для )

.

б) Для точки (відповідно для )

.

На підставі тієї ж теореми функція в точках и має умовний мінімум, рівний .

Отже, дана функція в точках і кола досягає умовного максимуму, рівного 4, а в точках і кола - умовного мінімуму, рівного .

Загальна задача (28), (29) на умовний екстремум

Нехай - стаціонарна точка функції Лагранжа (38), тобто один з розв"язків системи (39). Введімо в розгляд дві мат-риці.

a) Першою з матриць є матриця частинних похідних функцій (29)

. ( 40 )

Припускається, що значення матриці (40) в точці має ранг k, тобто містить принаймні один ненульовий мінор k-го порядку. Ми зупинмось на випадку, коли відмінним від нуля є наступний мінор (так званий якобі-ан¹):

( 41 )

b) Друга матриця – це матриця Гессе для функції Лагранжа (38)

, ( 42 )

.

Елементи матриці, які знаходяться на перетині перших k рядків і стовпчиків, дорівнюють нулю, бо частинні похідні першого порядку функції Лагранжа по - то є функції (29), які від не залежать. Відповідно перші k головних мінорів матриці Гессе дорівнюють нулю,

.

Теорема 7 (достатня умова існування умовного екстремуму). Нехай для стаціонарної точки функції Лагранжа:

1. Якобіан (41) відмінний від нуля;

2. - перший ненульвий головний мінор значения матриці Гессе (42) в точці ;

3. Знак цього мінора , де k – кількість умов (29).

Тоді:

а) якщо всі наступні головні мінори мають той же знак,

то геометрична точка є точкою умовного мінімуму;

б) якщо знаки головних мінорів чергуються,

,

то точка є точкою умовного максимуму;

в) якщо принаймні один з головних мінорів дорівнює нулю, отримуємо так званий сумнівний випадок, який для свого дослідження вимагає більш складної теорії;

г) в решті випадків умовний екстремум не досягається.

Приклад. Знайти умовні екстремуми функції

при двох обмеженнях (умовах)

Перший крок: запровадження функції Лагранжа та відшукання її стаціонарних точок. Функція Лагранжа

Її частинні похідні першого порядку

Необхідна умова існування умовного екстремуму дається системою рівнянь

Додамо рівняння (a), (b), (c), і, враховуючи (d), (e), отримаємо

. (f)

Віднімаючи рівняння (b) з (a), а потім (c) з (b), отримаємо

.

Зауважимо, що рівняння (g), (h) можно скласти інакше. Саме, з рівнянь (a), (b), (c) маємо

отже,

Далі ми повинні розглянути такі чотири випадки:

.

1) Випадок неможливий на підставі рівнянь (d), (e).

2) У випадку рівняння (c) дає , отже, рівняння (f) веде до квадратного рівняння з коренями Звідси випливає, що Відповідні значення x, y b z (з огля-ду на рівняння (d)) такі: и .

Остаточно отримуємо стаціонарні точки

функції Лагранжа і відповідні геометричні точки

даної функції.

У випадках 3) і 4) ми аналогічно знаходимо чотири стаціонарні точки

(парами і ) і відповідні геометричні точки даної функції

.

Другий крок: дослідження стаціонарних точок на існування умовного екстремуму. З цією метою ми повинні провести підготовчу роботу, пов"язану з введенням матриці частинних похідних першого порядку функцій , які задають обмеження вихідної задачі, і відповідних матриць Гессе.

А. Матриця функцій є

.

Знайдімо значення матриці в геометричних точках даної функції і відповідні якобіани:

Ми бачимо, що для всіх точок ранг матриці дорівнює 2.

Розгляд отриманих якобіанів показує, що для стаціонарних точок ми повинні використовувати матрицю Гессе у формі

,

але для точок - матрицю Гессе іншої форми, а саме:

.

Б. Утворюємо матриці Гессе в довільній точці .

EMBED Equation.3

В. Тепер ми вже можемо безпосередньо досліджувати стаціонарні точки функції Лагранжа на наявність в них умовних ектремумів. В задачі задано дві умови ( ), тому , і для застосовності теореми 6 ми очікуємо перш за все появи додатних перших ненульових головних мінорів в значен-нях матриці Гессе для стаціонарних точок, які досліджуємо.

a) Для точки (і точки )

.

Функція має умовний мінімум 4 в точці

b) Для точки (і точки )

Функція має умовний максимум в точці .

Відзначимо такий факт. Якби ми спробували досліджувати точки

за допомоги матриці Гессе (а не ), отримали б

і тільки Ми могли б говорити про досяг-нення функцією умовних екстремумів в цих точках, але нічого - про характер ектремумів.

c) Для точки (і точки )

Функція має умовний мінімум 4 в точці .

d) Для точки (і точки )

Функція має умовний мінімум 4 в точці .

e), f) Таким же чином ми встановлюємо, що для точок

,

,

і тому функція має в точках

,

умовний максимум .

Відповідь. Дана функція досягає умовного мінімуму 4 в геометричних точках і умовного максимуму в точках .