3.2.3. Умовні екстремуми а. Означення

Найпростіша задача на умовний екстремум:

Знайти екстремуми функції двох змінних

( 26 )

за умови, що x і y зв"язані рівнянням [умовою, обмеженням, співвідношенням]

. ( 27 )

Геометричний сенс задачі полягає у відшуканні екстремумів функції

в точках кривої, визначеної рів-нянням (27).

Умовний максимум функ-ції двох змінних на кривій показано на рис. 4. Він дорівнює

,

і функція досягає його в точці кривої. Для порів-няння на рис. 4 показано локаль-ний максимум тієї ж функції

,

Рис. 4 який відрізняється від умовного максимуму.

Загальна задача на умов-ний екстремум: Знайти екстремуми функції n змінних

( 28 )

за умови, що змінні пов"язані наступними рівняннями [умовами, обмеженнями, співвідношеннями]:

( 29 )

Б. Необхідна умова існування умовного екстремуму

Найпростіша задача (26), (27) на умовний екстремум.

Нехай умовний екстремум реалізується в точці , і принаймні одна частинна похідна функції відмінна від нуля в цій точці, наприклад

. ( 30 )

В цьому випадку рівняння (27) визначає y як неявну функцію від x в деякому околі точки ,

. ( 31 )

Якщо ми можемо безпосередньо знайти y з рівняння (27), то приходимо до задачі на звичайний локальний екстремум функції однієї змінної . Необхідна умова існування такого экстремуму є детальніше

. ( 32 )

Насправді нема необхідності выражати через x з рівняння (27). Достатньо просто взяти до уваги, що y є функцією від x, неявно заданою цим рівнянням, і на підставі цього розглядами (27) як тотожність відносно x. Після його диференціювання (по x) отримуємо для точки

. ( 33 )

Тепер з (32) і (33) маємо

( 34 )

Якщо позначити рівні відношення (34) символом , де - деяке число, яке звичайно називається невизначеним множником Лагранжа, отримаємо

,

Таким чином, ми довели таку теорему:

Теорема 4 (необхідна умова існування умовного екстремуму). Якщо функція двох змінних досягає умовного екстремуму в точці , то її координати задовольняють наступну систему рівнянь відносно :

( 35 )

Систему (35) легко запам"ятати, якщо ввести наступну допоміжну функцію (функцію Лагранжа)

. ( 36 )

Необхідна умова існування умовного екстремуму (26), (27) переходить в систему рівнянь

( 37 )

Означення 6. Кожний розв"язок системи (37) називається стаціонарною точкою функції Лагранжа (36). Відповідну геометричну точку можна назвати стаціонарною точкою вихідної функції (для найпростішої задачі на умовний екстремум (26), (27)).

З означення 6 і теореми 4 випливає, що функція може досягати умовного екстремуму тільки в стаціонарній точці функції Лагранжа.

Загальна задача (28), (29) на умовний екстремум

В загальній задачі на умовний екстремум вводять таку функцію Лагранжа:

( 38 )

Теорема 5 (необхідна умова існування умовного екстремуму). Якща функція n змінних досягає умовного екстремуму в точці , то її координати задовольняють систему рівнянь відносно

или ( 39 )

Означення 7. Кожний розв"язок системи рівнянь (39) називається стаціонарною точкою функції Лагранжа (38). Відповідна геометрична точка часто-густо називається стаціонарною точкою функції (для загальної задачі на умовний екстремум (28), (29)).

Функція може досягати умовного екстремуму тількі в стаціонарній точці функції Лагранжа.