3.2. Екстремуми функцій декількох змінних

3.2.1. Локальні екстремуми а. Означення

В цьому розділі ми розглядатимемо тільки двічі неперервно диференційовні функції декількох змінних.

Рис. 1

Означення 1. Точка називається точкою лока-льного максимуму функції n змінних , якщо існує окіл точки , такий, що для будь-якої точки виконується нерівність

( 1 )

Значення функції в точці , тобто , називаеться локальним максиму-мом функції.

Аналогічно означається точка локального мініимуму и локальний мі-німум функції n змінних. Терміни локальний максимум і локальний мінімум об"єднуються, як завжди, загальним терміном локальний екстремум.

Випадок локального максимуму функції двох змінних

проілюстровано на рис. 1. Точка є точкою локального максимума. Останній дорівнює

,

де - точка поверхні , графіка функції. На тому ж рисунку показано три лінії рівня функції, а саме:

.

Б. Необхідна умова існування локального екстремуму

Означення 2. Точка називається стаціонарною точкою функції n змінних , якщо в ній всі частинні похідні фунеції дорівнюють нулю,

. ( 2 )

Зауваження. В стаціонарній точці диференціал функції дорівнює нулю,

. ( 3 )

Теорема 1 (необхідна умова існування локального екстремуму). Якщо функція n змінних досягає локального экстремуму в точці , то ця точка є стаціонарною точкою функції, тобто в ній виконуються рівності (2), (3).

■Нехай і - функція однієї змінної . Якщо функція має локальный екстремум в точці , то функція має локальный екстремум в точці , а тому . Це означає, що

.

Аналогічно доводиться, що .■

З теореми 1 випливає, що (двічі неперервно диференційовна) функція може досягати локального екстремуму тільки в стаціонарній точці. Але стаціонарна точка не обов"язково є точкою локального экстремуму, тобто необхідна умова існування локального экстремуму не є достатньою.

Приклад. Точка є стаціонарною для функції двох змінних

,

але не є точкою локального екстремуму, бо для (в другому і четвертому квадрантах) і для (в першому і третьому квадрантах).

В. Достатня умова існування локального екстремуму

Щоб встановити достатню умову існування локального екстремуму, візьмемо до уваги деякі факти з теорії квадратичних форм.

Означення 3. Квадратичною формою n змінних називається вираз

. ( 4 )

Неважко помітити, що можна зобразити в матричній формі,

, ( 5 )

де матриця A називається матрицею квадратичної форми. Вона симетрична відносно головної діагоналі, оскільки .

Приклад. Квадратична форма двох змінних - це є вираз

( 6 )

з матрицею

( 7 )

Приклад. Квадратичною формою трьох змінних є вираз

Означення 4. Квадратична форма (4) називається додатно (від"ємно) визначеною, якща вона має тільки додатні (відповідно від"ємні) значення для будь-якого , тобто якщо .

Означення 5. Головними мінорами матриці (5) квадратичної форми (4) називаються її діагональні мінори

. ( 8 )

Теорема 2 (Сильвестр¹). Квадратична форма (4) є додатно визначеною тоді і тільки тоді, якщо додатними є всі її головні мінори,

. ( 9)

Вона є від"ємно визначеною тоді і тільки тоді, якщо її головні мінори мають наступні альтернуючі знаки:

( 10 )

Означення 6. Матрицею Гессе функції (в довільній точці ) називається матриця, елементами якої є частинні похідні другого порядку функції, а саме:

. ( 11 )

Теорема 3 (достатня умова існування локального экстремуму в стаціо-нарній точці). Нехай - стаціонарна точка функції

,

другий диференціал якої не дорівнює тотожно нулю в цій точці (відносно ), і нехай - значення матриці Гессе (11) в цій точці.

a) Якщо всі головні мінори матриці додатні,

, ( 12 )

то точка є точкою локального мінімуму;

б) якщо знаки головних мінорів матриці є альтернуючими,

, ( 13 ) то точка є точкою локального максимуму;

в) в інших випадках локальний екстремум відсутній.

Для випадку функції двох змінних

достатню умову існування локального экстремуму в стаціонарній точці можна подати в наступній формі:

а) якщо

і , ( 12 а )

то в точці функція має локальний мінімум;

б) якщо

і , ( 13 а )

то вона має в точці локальний максимум;

в) в інших випадках локальний екстремум відсутній.

■ За формулою Тейлора (див. формулу (30) в п. 2.3.4 Г (при )) приріст (повний приріст) функції в точці дорівнює

,

де - деяка точка. За умови (3) маємо , так що

. ( 14 )

З неперервності частинних похідних другого порядку функції випливає, що знак правої частини рівності (14) в деякому околі точки збігається з знаком значення другого диференціала функції в точці . Тому, якщо в , то в , і функція має локальний мінімум в точці . Аналогічно, якщо в , то в , і функція має ло-кальний максимум в . Але (див. формулу (35) в п. 2.3.4 Г ) значення другого диференціала функції в точці дорівнює

, ( 15 )

тобто є квадратичною формою змінних с матрицею (див. (11)). На підставі теореми 2 вона додатно визначена ( при ) тоді і тільки тоді, якщо виконуються умови (12). Вона є від"ємно визначеною ( ) тоді і тільки тоді, якщо виконуються умови (13).■

Для випадку функції двох змінних доведення теореми 3 сильно спрощується. Воно не вимагає долучення теорії квадратичних форм, оскільки знак значення диференціала в стационарній точці визначається теорією квадратного тричлена. Дійсно, в цьому випадку

Якщо, наприклад, , то

,

і квадратний тричлен в дужках (відносно ) додатний (від"ємний) для всіх не рівних одночасно нулю, якщо його дискримінант

від"ємний і якщо, крім того, (відповідно ). Залишається взяти до уваги, що

Зауваження. Теорема 3 справедлива, якщо значення диференціала не дорівнює тотожно нулю (відносно ). В протилежному випадку ми повинні звернутися до більш складної теорії (з використанням диференціалів порядків, вищих 2).

Приклад. Знайти локальні екстремуми функції

.

Перший крок: знахождення стаціонарних точок функції.

Другий крок: дослідження стаціонарних точок . Для цього ми можемо скористатися як умовами (12), (13) загальної теорії, так і умовами (12 а), (13 а), які стосуються функцій двох змінних.

Розпочнімо з загальної теорії. Утворимо перш за все матрицю Гессе заданої функції. Маємо

.

а) Для точки відповідне значення матриці Гессе є

;

всі головні мінори матриці додатні,

, ;

отже, на підставі теореми 3 (умова (12)) функція має локальний мінімум в точці .

б) Для точки матриця Гессе та її головні мінори дорівнюють

; , ,

і на підставі тієї ж теореми функція не має локального экстремуму в точці .

Той же самий результат отримуємо, застосовуючи достатню умову існування локального екстремуму для випадку функцій двох змінних. Саме:

а) ,

і для точки виконується умова (12 а), а отже функція досягає в ній мінімуму;

б)

,

і в точці локальний екстремум не досягається (це зразу видно хоча б з того, що ).

Приклад. Знайти локальні екстремуми функції трьох змінних

1. Знаходження стаціонарних точок. Існує єдина стациінарна точка, оскільки

2. Дослідження стаціонарної точки . Частинні похідні другого порядку функції

породжують матрицю Гессе з сталими елементами, так що

головні мінори значення матриці Гессе (в стационарній точці !)

,

і, отже, функція має в точкі локальний максимум

.

Приклад. Знайти локальні екстремуми функції .

1.

Отримали дві стаціонарні точки , .

2. Тепер ми повінні дослідити стаціонарні точки на існування локальних екстремумів. Частинні похідні другого порядку даної функціх в довільній точці дорівнюють

a) Матриця Гессе і головні мінори в першій точці є

.

Отже, ми маємо локальний мінімум в точці .

b) Для другої точки маємо

.

Таким чином, в точкі функція має локальний максимум.

Приклад. Функції

мають одну й ту ж стаціонарну точку . Їх диференціали другого порядку

Тотожно дорівнюють нулю в стаціонарній точці, і теорема 3 для цих функцій незастосовна. Легко бачити, що функція має в стаціонарній точці максимум, функція - мінімум, а функція взагалі не має екстремумів. Дійсно, , в довільній точці, відмінній від стаціонарної, тоді як при , при і при .