3.2.4. Абсолютні екстремуми

Нехай функція двох змінних неперервна в замкненій обмеженій області D. На підставі теореми 5 з п. 1.2.2 вона набуває найбільше M і найменше m значения в D: існують такі точки , що

Числа називаються абсолютними ектремумами функції в області D, і задача полягає в їх відшуканні.

Р озв"язуючи задачу знаходження , ми повинні взяти до уваги, що будь-яка з точок може знаходитись або всередині області D, і тоді вона є стаціонарною точкою функції, або на її границі.

На підставі цього ми можемо сформу-лювати наступне

Правило. Щоб знайти найбільше і най-менше значення (абсолютні екстремуми) фун-кції двох змінних , непере-рвної в замкненій обмеженій області D, дос- татньо діяти наступним чином: Рис. 5 1. Знайти всі внутрішні стаціонарні точки функції (наприклад, точки N, P на рис. 5).

2. Знайти стаціонарні точки на границі області (наприклад, точки R, S, T на рис. 5).

3. Знайти значення функції в усіх цих точках, а також в кутових точках границі області, якщо вони є (наприклад, точки A, B, C на рис. 5)

4. Вибрати найбільше й найменше з отриманих значень.

Важливо відзначити наступне. Відшукання стаціонарних точок функції на границі області D є частиною задачі на умовний екстремум. Тому в разі потреби ці точки можна знаходити за допомоги функції Лагранжа.

Границя області D може складатися з декількох частин (наприклад, AB, BC, CA на рис. 5). В цьому випадку стаціонарні точки шукають на кожній з них.

Приклад. Знайти найбільше й найменше значення функції двох змінних

в області D, визначеній нерівностями , , .

Функція неперервна в замкненій обмеженій області D, яка є трикутником , утвореним координатними осями і прямою (см. рис. 6).

1.

Точка є внутрішньою стаціонарною точкою області. Рис. 6 2. Границя області D складається з трьох відрізків .

а) На відрізку OA, ; , якщо , , і точка відрізка OA - стаціонарна.

б) На OB, ; , якщо , , і ми отримуємо стаціонарну точку .

в) На відрізку AB маємо , якщо , і ми знаходимо ще одну стаціонарну точку .

3. Обчислимо значення функції в точках C, D, E, F, O, A, B.

,

4. Відповідь:

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції

в області D, визначеній нерівністю .

Функція неперервна в замкненій обме-женій області D – крузі радіуса 2 с центром в початку координат (рис. 7). 1. Початок координат є єдиною стаціонарною точкою функції ( ). 2. При знаходженні стаціонарної точки Рис. 7 на границі області ми маємо справу з задачею на умовний екстремум для даної функції з обмеженням (граничною умовою) . Функція Лагранжа задачі

,

і відповідна система рівнянь, яка дає необхідну умову існування умовного екстремуму, є

Розв"язання системи (див. приклад з п.3.2.3 В) дає чотири стаціонарні точки, а саме:

.

3. Значення функції в усіх знайдених точках

4. Відповідь:

.