3.3 Математические основы анализа цепей синусоидального тока (символический метод анализа)

Представление синусоидальной функции времени вращающимся вектором. При анализе и расчете сложных цепей переменного тока возникает необходимость совместного рассмотрения нескольких синусоидальных сигналов одинаковой частоты, между которыми есть фазовый сдвиг. Можно представить эти сигналы в привычном графическом виде (рис.3.3), однако в таком виде выполнение математических действий над ними оказывается достаточно трудоемким. Более простым и наглядным является представление синусоидальных функций с помощью вращающихся векторов (рис.3.7, 3.8).

Рисунок 3.7 — Представление синусоидальной функции

вращающимся вектором

Синусоидальная функция может быть представлена вектором, длина которого равна амплитуде функции . В начальный момент времени вектор расположен под углом к горизонтальной оси. При увеличении вектор равномерно вращается против часовой стрелки с угловой скоростью .

Длина проекции вращающегося вектора на ось в любой момент времени будет равна соответствующему мгновенному значению функции .

Таким образом, любой синусоидальный сигнал можно представить в виде вектора, равномерно вращающегося с угловой скоростью, равной угловой частоте сигнала. Начальное положение вектора определяется начальной фазой сигнала, длина вектора — амплитудным значением сигнала. При таком представлении синусоидальных сигналов выполнение любых математических действий над ними сводится к операциям над соответствующими векторами (рис.3.8). Изображение на координатной плоскости совокупности таких векторов с учетом их взаимной ориентации по фазе называется векторной диаграммой (рис.3.8 б).

а б

Рисунок 3.5 — Сложение двух синусоидальных функций:

а — графическое сложение; б — сложение с помощью векторной диаграммы

Представление синусоидальной функции комплексным числом. Вращающийся вектор, изображающий синусоидальную функцию, можно описать комплексным числом. Для этого нужно расположить вектор в комплексной плоскости (рис.3.6).

Рисунок 3.6 — Перенос вектора на комплексную плоскость

Представление вращающегося вектора комплексным числом дает возможность заменить геометрические действия над векторами алгебраическими действиями над соответствующими комплексными числами.

Пусть в начальный момент вектор (радиус-вектор) неподвижен (рис.3.6), тогда его можно представить комплексным числом

,

где — модуль комплексного числа (всегда положителен);

— аргумент комплексного числа (имеет любой знак);

— мнимая единица или оператор поворота на 90⁰, .

Для любого момента вращающемуся вектору соответствует комплексное число

,

где — оператор поворота вектора с круговой частотой ω.

В электротехнике при описании гармонического сигнала величину называют комплексной амплитудой, а величину — комплексной гармонической функцией. Величина называется комплексным действующим значением.

Формы записи комплексных величин. В зависимости от поставленной задачи анализа и расчета цепей синусоидального тока применяются различные формы записи комплексных величин.

Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) определяют показательную форму записи комплексного числа : ,

а также тригонометрическую форму записи: .

Проекции вектора на «действительную» и «мнимую» оси комплексной плоскости (величины и ) определяют алгебраическую форму записи комплексного числа : .

При выполнении действий с комплексными числами зачастую приходится менять форму их записи. Для этого существуют формулы перехода

; ; ; ; .

Сложение и вычитание комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме, а умножение, деление и возведение в степень — в показательной.

Число называется комплексно-сопряженным числу . Произведение комплексно-сопряженных чисел — вещественное число, равное квадрату их модуля: .

Основные действия над комплексными числами.

Сложение: ;

Вычитание: ;

Умножение: ;

;

Деление: ;

;

Умножение на : ; .